A equação geral de um campo de velocidade em um escoamento invíscido é dada abaixo:
A respeito deste escoamento responda ao que se pede:
a) Determinar, explicando, a dimensão e o regime de escoamento (permanente ou transitório).
b) Determinar a expressão do vetor aceleração.
c) Determinar o valor da pressão no ponto , sabendo-se que a pressão no ponto é igual a p e a massa específica vale .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado. Temos uma equação que descreve um campo de velocidade num escoamento invíscido:
Vamos precisar entender conceitos de mecânica dos fluidos, como a dimensão do fluxo (se é bidimensional ou tridimensional), e se o escoamento é permanente (constante no tempo) ou transitório (varia com o tempo). Além disso, vamos usar cálculo vetorial para encontrar o vetor aceleração e princípios de conservação de energia para determinar a pressão em um ponto específico.

Passo 2

a) Determinar a dimensão e o regime de escoamento (permanente ou transitório).
Primeiro, vamos verificar a dimensão do escoamento. Observando a equação da velocidade, notamos que a componente em não está presente, ou seja, a velocidade nem varia nem depende de . Isso indica que o escoamento é bidimensional, ocorrendo apenas nas direções e .
Agora, para determinar se o escoamento é permanente ou transitório, precisamos ver se a velocidade depende do tempo. Olhando novamente a equação:
Não há termos que envolvam o tempo . Portanto, a velocidade em cada ponto do fluido é constante ao longo do tempo, o que caracteriza um escoamento permanente.

Passo 3

b) Determinar a expressão do vetor aceleração.
O vetor aceleração em um campo de velocidade é dado pela derivada total da velocidade em relação ao tempo. Num escoamento permanente, isso se resume a:
Vamos calcular os componentes dessa expressão.
Primeiro, calculamos :
Agora, aplicamos essa operação na velocidade :
Calculando as derivadas parciais:
Para :
Para :
Substituindo de volta na expressão do vetor aceleração:
Simplificando:
Finalmente, agrupando os termos semelhantes:

Passo 4

c) Determinar o valor da pressão no ponto , sabendo-se que a pressão no ponto é igual a e a massa específica vale .
Vamos usar a equação de Bernoulli para um escoamento invíscido e permanente:
Como não há variação na altura e considerando que estamos no mesmo nível, podemos simplificar para:
Vamos escolher o ponto como referência onde a pressão é . No ponto , queremos encontrar .
Primeiro, calculamos a velocidade nos dois pontos.
No ponto :
Então:
Resolvendo para :
Agora, calculamos :
O módulo da velocidade é:
Substituindo na equação da pressão:

Resposta

A pressão no ponto é igual a .

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Um campo de escoamento é dado por
a) Determinar, explicando, a dimensão e o regime de escoamento (permanente ou transitório).
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