A equação geral de um campo de velocidade em um escoamento invíscido é dada abaixo:
V(x, y, z)=-2 x y imath+(y 2-x 2) jmath
A respeito deste escoamento responda ao que se pede:
a) Determinar, explicando, a dimensão e o regime de escoamento (permanente ou transitório).
b) Determinar a expressão do vetor aceleração.
c) Determinar o valor da pressão no ponto (x, y)=(2,1), sabendo-se que a pressão no ponto (0,0) é igual a p p0 e a massa específica vale rho.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado. Temos uma equação que descreve um campo de velocidade num escoamento invíscido:
V(x, y, z) = -2xy imath + (y^2 - x^2) jmath
Vamos precisar entender conceitos de mecânica dos fluidos, como a dimensão do fluxo (se é bidimensional ou tridimensional), e se o escoamento é permanente (constante no tempo) ou transitório (varia com o tempo). Além disso, vamos usar cálculo vetorial para encontrar o vetor aceleração e princípios de conservação de energia para determinar a pressão em um ponto específico.

Passo 2

a) Determinar a dimensão e o regime de escoamento (permanente ou transitório).
Primeiro, vamos verificar a dimensão do escoamento. Observando a equação da velocidade, notamos que a componente em V(x, y, z) = -2xy imath + (y^2 - x^2) jmath não está presente, ou seja, a velocidade nem varia nem depende de . Isso indica que o escoamento é bidimensional, ocorrendo apenas nas direções e .
Agora, para determinar se o escoamento é permanente ou transitório, precisamos ver se a velocidade depende do tempo. Olhando novamente a equação:
Não há termos que envolvam o tempo . Portanto, a velocidade em cada ponto do fluido é constante ao longo do tempo, o que caracteriza um escoamento permanente.

Passo 3

b) Determinar a expressão do vetor aceleração.
O vetor aceleração a = (V cdot nabla) V em um campo de velocidade V cdot nabla = (-2xy) partialpartial x + (y^2 - x^2) partialpartial y é dado pela derivada total da velocidade em relação ao tempo. Num escoamento permanente, isso se resume a:
a = (-2xy) partial Vpartial x + (y^2 - x^2) partial Vpartial y
Vamos calcular os componentes dessa expressão.
Primeiro, calculamos partial (-2xy)partial x = -2y e partial (y^2 - x^2)partial x = -2x :
partial (-2xy)partial y = -2x e partial (y^2 - x^2)partial y = 2y
Agora, aplicamos essa operação na velocidade a = (-2xy)(-2y imath - 2x jmath) + (y^2 - x^2)(-2x imath + 2y jmath) :
a = (4xy^2 + 4x^2y) imath + (-4x^2y + 2y^3 - 2x^2y) jmath
Calculando as derivadas parciais:
Para a = 4x y (y + x) imath + 2y (y^2 - 3x^2) jmath :
Para :
Substituindo de volta na expressão do vetor aceleração:
Simplificando:
Finalmente, agrupando os termos semelhantes:

Passo 4

c) Determinar o valor da pressão no ponto V^22 + prho + gz = constante , sabendo-se que a pressão no ponto V^22 + prho = constante é igual a V(0,0) = -2(0)(0) imath + (0^2 - 0^2) jmath = 0 imath + 0 jmath = 0 e a massa específica vale 0^22 + p0rho = prho + V(2,1)^22 .
Vamos usar a equação de Bernoulli para um escoamento invíscido e permanente:
p = p0 - rho V(2,1)^22
Como não há variação na altura V(2,1) = -2(2)(1) imath + (1^2 - 2^2) jmath = -4 imath -3 jmath e considerando que estamos no mesmo nível, podemos simplificar para:
V = raiz(-4)^2 + (-3)^2 = raiz16 + 9 = raiz25 = 5
Vamos escolher o ponto p = p0 - rho (5)^22 = p0 - 25 rho2 como referência onde a pressão é . No ponto , queremos encontrar .
Primeiro, calculamos a velocidade nos dois pontos.
No ponto :
Então:
Resolvendo para :
Agora, calculamos :
O módulo da velocidade é:
Substituindo na equação da pressão:

Resposta

A pressão no ponto é igual a .

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