A equação geral de um campo de velocidade em um escoamento invíscido é dada abaixo:
A respeito deste escoamento responda ao que se pede:
a) Determinar, explicando, a dimensão e o regime de escoamento (permanente ou transitório).
b) Determinar a expressão do vetor aceleração.
c) Determinar o valor da pressão no ponto
, sabendo-se que a pressão no ponto
é igual a p
e a massa específica vale
.
a) Determinar, explicando, a dimensão e o regime de escoamento (permanente ou transitório).
b) Determinar a expressão do vetor aceleração.
c) Determinar o valor da pressão no ponto
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado. Temos uma equação que descreve um campo de velocidade num escoamento invíscido:
Vamos precisar entender conceitos de mecânica dos fluidos, como a dimensão do fluxo (se é bidimensional ou tridimensional), e se o escoamento é permanente (constante no tempo) ou transitório (varia com o tempo). Além disso, vamos usar cálculo vetorial para encontrar o vetor aceleração e princípios de conservação de energia para determinar a pressão em um ponto específico.
Passo 2
a) Determinar a dimensão e o regime de escoamento (permanente ou transitório).
Primeiro, vamos verificar a dimensão do escoamento. Observando a equação da velocidade, notamos que a componente em
não está presente, ou seja, a velocidade nem varia nem depende de
. Isso indica que o escoamento é bidimensional, ocorrendo apenas nas direções
e
.
Agora, para determinar se o escoamento é permanente ou transitório, precisamos ver se a velocidade depende do tempo. Olhando novamente a equação:
Não há termos que envolvam o tempo
. Portanto, a velocidade em cada ponto do fluido é constante ao longo do tempo, o que caracteriza um escoamento permanente.
Passo 3
b) Determinar a expressão do vetor aceleração.
O vetor aceleração
em um campo de velocidade
é dado pela derivada total da velocidade em relação ao tempo. Num escoamento permanente, isso se resume a:
Vamos calcular os componentes dessa expressão.
Primeiro, calculamos
:
Agora, aplicamos essa operação na velocidade
:
Calculando as derivadas parciais:
Para
:
Para
:
Substituindo de volta na expressão do vetor aceleração:
Simplificando:
Finalmente, agrupando os termos semelhantes:
Passo 4
c) Determinar o valor da pressão no ponto
, sabendo-se que a pressão no ponto
é igual a
e a massa específica vale
.
Vamos usar a equação de Bernoulli para um escoamento invíscido e permanente:
Como não há variação na altura
e considerando que estamos no mesmo nível, podemos simplificar para:
Vamos escolher o ponto
como referência onde a pressão é
. No ponto
, queremos encontrar
.
Primeiro, calculamos a velocidade nos dois pontos.
No ponto
:
Então:
Resolvendo para
:
Agora, calculamos
:
O módulo da velocidade é:
Substituindo na equação da pressão:
Resposta
A pressão no ponto
é igual a
.