O campo de velocidade de um dado escoamento pode ser descrito pela seguinte equação:
. Onde
e
são constantes, as coordenadas
são medidas em metro e o tempo (
) em segundo. Classifique este o campo de escoamento quanto a dimensão e dependência com o tempo. Encontre ainda a equação geral que descreve as linhas de corrente deste escoamento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que fala sobre um campo de velocidade de um escoamento, dado pela equação
. A gente vai precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente sobre campos de velocidade, classificação desse campo quanto à dimensão e dependência do tempo, e também sobre como encontrar as linhas de corrente (ou linhas de fluxo) desse escoamento.
Passo 2
Primeiro, vamos classificar o campo de velocidade quanto à dimensão. A equação
envolve as coordenadas
e
que são medidas em metros (m), e o tempo
em segundos (s). As constantes
,
e
são adimensionais ou têm unidades que cancelam as unidades das variáveis para que
tenha unidades de velocidade (m/s).
Como temos duas componentes de velocidade, estamos lidando com um escoamento bidimensional, ou seja, que varia em duas dimensões espaciais (
e
).
Passo 3
Agora, vamos analisar a dependência com o tempo do campo de velocidade. Observamos que a componente
tem um termo
, que depende explicitamente do tempo
. Isso significa que o campo de velocidade varia com o tempo, ou seja, é não estacionário. Se o campo não dependesse do tempo, seria chamado de estacionário.
Passo 4
Pronto para a parte das linhas de corrente! As linhas de corrente são trajetórias que uma partícula de fluido seguiria no escoamento. Para encontrar a equação geral das linhas de corrente, usamos a condição de que a derivada de
em relação a
ao longo de uma linha de corrente é igual à razão das componentes de velocidade:
Substituindo
e
da equação dada:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial que relaciona
,
e
. No entanto, queremos uma relação somente entre
e
para descrever as linhas de corrente. Notamos que
é uma variável independente, então precisamos eliminar
da equação.
Como o campo de velocidade é não estacionário, as linhas de corrente podem variar com o tempo. Para simplificar, podemos considerar um instante fixo de tempo e encontrar uma solução para as linhas de corrente nesse instante. Mas para uma solução geral que considera a variação com o tempo, precisaríamos integrar considerando as condições iniciais do escoamento, o que geralmente resulta em soluções mais complexas.
No entanto, se assumirmos que estamos observando o fluxo em um instante específico
, a equação se simplifica para:
Isso é uma equação diferencial separável.
Passo 6
Vamos resolver a equação diferencial separável:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Podemos reescrever a equação exponenciando ambos os lados para isolar
:
Onde
é uma constante que caracteriza cada linha de corrente específica.
Passo 8
Então, a equação geral que descreve as linhas de corrente neste escoamento, considerando um instante fixo de tempo
, é:
Resposta
O campo de escoamento é bidimensional e não estacionário, ou seja, depende do tempo. A equação geral que descreve as linhas de corrente deste escoamento é dada por:
Onde
é uma constante que caracteriza cada linha de corrente específica.
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