O campo de velocidade de um dado escoamento pode ser descrito pela seguinte equação: . Onde e são constantes, as coordenadas são medidas em metro e o tempo ( ) em segundo. Classifique este o campo de escoamento quanto a dimensão e dependência com o tempo. Encontre ainda a equação geral que descreve as linhas de corrente deste escoamento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que fala sobre um campo de velocidade de um escoamento, dado pela equação . A gente vai precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente sobre campos de velocidade, classificação desse campo quanto à dimensão e dependência do tempo, e também sobre como encontrar as linhas de corrente (ou linhas de fluxo) desse escoamento.

Passo 2

Primeiro, vamos classificar o campo de velocidade quanto à dimensão. A equação envolve as coordenadas e que são medidas em metros (m), e o tempo em segundos (s). As constantes , e são adimensionais ou têm unidades que cancelam as unidades das variáveis para que tenha unidades de velocidade (m/s).
Como temos duas componentes de velocidade, estamos lidando com um escoamento bidimensional, ou seja, que varia em duas dimensões espaciais ( e ).

Passo 3

Agora, vamos analisar a dependência com o tempo do campo de velocidade. Observamos que a componente tem um termo , que depende explicitamente do tempo . Isso significa que o campo de velocidade varia com o tempo, ou seja, é não estacionário. Se o campo não dependesse do tempo, seria chamado de estacionário.

Passo 4

Pronto para a parte das linhas de corrente! As linhas de corrente são trajetórias que uma partícula de fluido seguiria no escoamento. Para encontrar a equação geral das linhas de corrente, usamos a condição de que a derivada de em relação a ao longo de uma linha de corrente é igual à razão das componentes de velocidade:
Substituindo e da equação dada:

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial que relaciona , e . No entanto, queremos uma relação somente entre e para descrever as linhas de corrente. Notamos que é uma variável independente, então precisamos eliminar da equação.
Como o campo de velocidade é não estacionário, as linhas de corrente podem variar com o tempo. Para simplificar, podemos considerar um instante fixo de tempo e encontrar uma solução para as linhas de corrente nesse instante. Mas para uma solução geral que considera a variação com o tempo, precisaríamos integrar considerando as condições iniciais do escoamento, o que geralmente resulta em soluções mais complexas.
No entanto, se assumirmos que estamos observando o fluxo em um instante específico , a equação se simplifica para:
Isso é uma equação diferencial separável.

Passo 6

Vamos resolver a equação diferencial separável:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Podemos reescrever a equação exponenciando ambos os lados para isolar :
Onde é uma constante que caracteriza cada linha de corrente específica.

Passo 8

Então, a equação geral que descreve as linhas de corrente neste escoamento, considerando um instante fixo de tempo , é:

Resposta

O campo de escoamento é bidimensional e não estacionário, ou seja, depende do tempo. A equação geral que descreve as linhas de corrente deste escoamento é dada por:
Onde é uma constante que caracteriza cada linha de corrente específica.

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