A distribuição de velocidade para o escoamento laminar entre placas paralelas é dada por
uumax=1-(2 yh)^2
onde h é a distância separando as duas placas; a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere o escoamento de água a 15^circ C com velocidade máxima de 0,05 m / s e h=1 mm. Calcule a força sobre uma seção de 1 m^2 da placa inferior e dê o seu sentido.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a força sobre uma seção de 1 m² da placa inferior em um escoamento laminar entre duas placas paralelas. A gente vai usar conceitos de mecânica dos fluidos, mais especificamente a teoria de escoamento laminar e shear stress (tensão de cisalhamento). Vamos precisar entender como a velocidade do fluido varia entre as placas e como isso gera uma força nas placas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que descreve o perfil de velocidade do escoamento laminar entre as placas:
uumax = 1 - (2yh)^2
Aqui, é a velocidade em um ponto em relação ao centro das placas, é a velocidade máxima, e é a distância entre as placas.

Passo 3

A força que o fluido exerce sobre a placa é relacionada à tensão de cisalhamento ( tau = mu dudy ). A tensão de cisalhamento é dada por:
Onde é a viscosidade dinâmica do fluido e é o gradiente de velocidade.

Passo 4

Vamos calcular o gradiente de velocidade u = umax [1 - (2yh)^2] . A gente tem:
dudy = umax cdot [ -2 cdot (2h)^2 y ] = -4 umaxh^2 y
Derivando em relação a :

Passo 5

Agora, precisamos da viscosidade dinâmica da água a 15°C. Consultando tabelas de propriedades da água, encontramos que a 15°C é aproximadamente .

Passo 6

Vamos calcular a tensão de cisalhamento dudyg|y = -h2 = -4 umaxh^2 (-h2) = 2 umaxh na placa inferior. Na placa inferior, tau = mu cdot 2 umaxh (já que a origem está no meio). Substituindo na expressão do gradiente de velocidade:
Agora, substituindo na fórmula da tensão de cisalhamento:

Passo 7

Vamos agora substituir os valores numéricos:
  • tau = 1.14 times 10^-3 cdot 2 times 0.050.001 = 1.14 times 10^-3 cdot 100 = 0.114 , Pa
Calculando :

Passo 8

Finalmente, a força F = tau cdot A = 0.114 , Pa times 1 , m^2 = 0.114 , N sobre a área é:
Quanto ao sentido da força, ela atua na direção oposta ao movimento do fluido, ou seja, na direção contrária à velocidade máxima .

Resposta

A força sobre a seção de 1 m² da placa inferior é de na direção oposta ao movimento do fluido.

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