A distribuição de velocidade para o escoamento laminar entre placas paralelas é dada por
onde é a distância separando as duas placas; a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere o escoamento de água a com velocidade máxima de e . Calcule a força sobre uma seção de da placa inferior e dê o seu sentido.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a força sobre uma seção de 1 m² da placa inferior em um escoamento laminar entre duas placas paralelas. A gente vai usar conceitos de mecânica dos fluidos, mais especificamente a teoria de escoamento laminar e shear stress (tensão de cisalhamento). Vamos precisar entender como a velocidade do fluido varia entre as placas e como isso gera uma força nas placas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que descreve o perfil de velocidade do escoamento laminar entre as placas:
Aqui, é a velocidade em um ponto em relação ao centro das placas, é a velocidade máxima, e é a distância entre as placas.
Passo 3
A força que o fluido exerce sobre a placa é relacionada à tensão de cisalhamento (). A tensão de cisalhamento é dada por:
Onde é a viscosidade dinâmica do fluido e é o gradiente de velocidade.
Passo 4
Vamos calcular o gradiente de velocidade . A gente tem:
Derivando em relação a :
Passo 5
Agora, precisamos da viscosidade dinâmica da água a 15°C. Consultando tabelas de propriedades da água, encontramos que a 15°C é aproximadamente .
Passo 6
Vamos calcular a tensão de cisalhamento na placa inferior. Na placa inferior, (já que a origem está no meio). Substituindo na expressão do gradiente de velocidade:
Agora, substituindo na fórmula da tensão de cisalhamento:
Passo 7
Vamos agora substituir os valores numéricos:
Calculando :
Passo 8
Finalmente, a força sobre a área é:
Quanto ao sentido da força, ela atua na direção oposta ao movimento do fluido, ou seja, na direção contrária à velocidade máxima .
Resposta
A força sobre a seção de 1 m² da placa inferior é de na direção oposta ao movimento do fluido.