Um campo de velocidade é dado por u=c x^2 e v=c y^2, em que c é uma constante. Determine as com-
ponentes x e y da aceleração. Em que ponto(s) no campo do escoamento a aceleração é zero. (R: ax=2 c^2 x^3 ; ay= 2 c^2 y^3 )

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos dá um campo de velocidade onde e , com sendo uma constante. Nosso objetivo é encontrar as componentes da aceleração ( e ) nesse campo e descobrir em quais pontos a aceleração é zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo da aceleração em um campo de escoamento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração em um campo de velocidade é dada pela derivada material do vetor velocidade. Matemáticamente, para cada componente:
ax = partial upartial t + u partial upartial x + v partial upartial y
ay = partial vpartial t + u partial vpartial x + v partial vpartial y
No nosso caso, como o campo de velocidade não depende do tempo, ou seja, e .

Passo 3

Vamos calcular ax = u partial upartial x + v partial upartial y primeiro. Substituindo os valores:
partial upartial x = 2c x
Como ax = c x^2 cdot 2c x + c y^2 cdot 0 = 2c^2 x^3 , temos:
E como não depende de , .
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular ay = u partial vpartial x + v partial vpartial y :
partial vpartial x = 0
Sabendo que partial vpartial y = 2c y :
ay = c x^2 cdot 0 + c y^2 cdot 2c y = 2c^2 y^3
Substituindo na expressão de :

Passo 5

Agora que temos as expressões para ax = 2c^2 x^3 e ay = 2c^2 y^3 :
2c^2 x^3 = 0 e 2c^2 y^3 = 0
x^3 = 0 e y^3 = 0
Queremos saber em quais pontos do campo de escoamento a aceleração é zero. Isso acontece quando ambas as componentes da aceleração são iguais a zero simultaneamente.
Então, resolvemos:
x = 0 e y = 0
Dividindo por (que não é zero), temos:
Isso implica que:

Resposta

Aceleração nas componentes:
ax = 2c^2 x^3 e ay = 2c^2 y^3
A aceleração é zero no ponto do campo de escoamento.

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