As componentes x e y da velocidade para um escoamento 2-D são u=3 m / s e v=9 x^2 m / s, em que x é dado em metros. Determine a equação que descreve as linhas de corrente e faça um gráfico para distintos valores de c(c=150, c=100, c=50, c=0) (R: y=x^3+c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de escoamento 2-D onde as componentes da velocidade são dadas por e , com em metros. Nosso objetivo aqui é determinar a equação que descreve as linhas de corrente desse escoamento e, depois, fazer um gráfico para alguns valores específicos de . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre linhas de corrente e como elas se relacionam com as componentes da velocidade em um escoamento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as linhas de corrente são trajetórias que o fluido segue em um escoamento. Matematicamente, podemos relacionar as componentes da velocidade dydx = vu e com a derivada , que representa a inclinação da linha de corrente em cada ponto. A relação é dada por:
Isso significa que, conhecendo e , podemos integrar essa relação para encontrar a equação das linhas de corrente.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa relação ao nosso problema. Temos:
u = 3 , m/s e v = 9x^2 , m/s
Substituindo na equação:
dydx = vu = 9x^23 = 3x^2
Então, nossa equação para a inclinação da linha de corrente é .

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação diferencial para encontrar integral dy = integral 3x^2 , dx em termos de y = x^3 + c . Isso envolve integrar ambos os lados da equação em relação a :
A integral de é simplesmente , e a integral de é:
onde é a constante de integração que representa diferentes linhas de corrente.

Passo 5

Então, chegamos à equação das linhas de corrente:
y = x^3 + c
Aqui, cada valor de corresponde a uma linha de corrente específica no escoamento. Para visualizar melhor, vamos fazer um gráfico dessas linhas para alguns valores de .

Passo 6

Vamos plotar as linhas de corrente para , , e . Cada uma dessas valores de vai nos dar uma curva diferente no plano :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Essas curvas representam as trajetórias que as partículas do fluido seguem no escoamento.

Resposta

A equação que descreve as linhas de corrente é , onde pode ser 150, 100, 50 ou 0.

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