As componentes x e y da velocidade para um escoamento 2-D são
e
, em que
é dado em metros. Determine a equação que descreve as linhas de corrente e faça um gráfico para distintos valores de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de escoamento 2-D onde as componentes da velocidade são dadas por
e
, com
em metros. Nosso objetivo aqui é determinar a equação que descreve as linhas de corrente desse escoamento e, depois, fazer um gráfico para alguns valores específicos de
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre linhas de corrente e como elas se relacionam com as componentes da velocidade em um escoamento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as linhas de corrente são trajetórias que o fluido segue em um escoamento. Matematicamente, podemos relacionar as componentes da velocidade
e
com a derivada
, que representa a inclinação da linha de corrente em cada ponto. A relação é dada por:
Isso significa que, conhecendo
e
, podemos integrar essa relação para encontrar a equação das linhas de corrente.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa relação ao nosso problema. Temos:
Substituindo na equação:
Então, nossa equação para a inclinação da linha de corrente é
.
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação diferencial para encontrar
em termos de
. Isso envolve integrar ambos os lados da equação em relação a
:
A integral de
é simplesmente
, e a integral de
é:
onde
é a constante de integração que representa diferentes linhas de corrente.
Passo 5
Então, chegamos à equação das linhas de corrente:
Aqui, cada valor de
corresponde a uma linha de corrente específica no escoamento. Para visualizar melhor, vamos fazer um gráfico dessas linhas para alguns valores de
.
Passo 6
Vamos plotar as linhas de corrente para
,
,
e
. Cada uma dessas valores de
vai nos dar uma curva diferente no plano
:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Essas curvas representam as trajetórias que as partículas do fluido seguem no escoamento.
Resposta
A equação que descreve as linhas de corrente é
, onde
pode ser 150, 100, 50 ou 0.
Exercícios relacionados
Discuta brevemente a diferença entre os operadores de derivada
e
. Se a derivada
aparece em uma equação, o que isso implica sobre a variável
?
Um fluido (
e
) deve ser transportado através de uma tubulação horizontal de
de diâmetro. A linha tem 200 m de comprimento e apresenta 8 joelhos de
, uma válvula de retenção (portinhola) e duas válvulas de gaveta. Que vazão máxima pode ser transportada para que a perda de carga não cxeeda a 40 psü? Considerar uma tubulação de aço comercial.
Um campo de velocidade é dado por
e
, em que
é uma constante. Determine as com-
ponentes e
da aceleração. Em que ponto(s) no campo do escoamento a aceleração é zero. (R:
)
ponentes
Responda:
(a) O que é descrição Lagrangeana?
(b) O que é descrição Euleriana?
© Qual a definição de linha de corrente?
(d) Qual a definição de tubo de corrente?
(a) O que é descrição Lagrangeana?
(b) O que é descrição Euleriana?
© Qual a definição de linha de corrente?
(d) Qual a definição de tubo de corrente?