Questäo: Um tanque, inicialmente contendo 1000 kg de uma solução salina contendo de sal/massa, é abastecido a uma vazāo volumétrica de com uma soluçāo salina contendo 20% sal/massa. A solução resultante é mantida uniforme por agitaçăo e escoa para fora do tanque a uma vazāo volumétrica de ( 2,5 pontos).
a) Calcule a quantidade de sal existente no tanque em qualquer instante

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um tanque que tem uma solução salina. Inicialmente, ele contém 1000 kg dessa solução com 10% de sal. Estamos adicionando mais solução salina com 20% de sal a uma taxa de 20 kg por minuto e retirando a solução a 10 kg por minuto. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto sal tem no tanque em qualquer instante de tempo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de equilíbrio de massa e montar uma equação diferencial que descreve como a quantidade de sal no tanque muda com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir como a quantidade de sal no tanque no instante . Inicialmente, o tanque tem 1000 kg de solução com 10% de sal, então:

Passo 3

Agora, vamos analisar as taxas de entrada e saída de sal no tanque.
Entrada de sal:
A solução que entra tem 20% de sal e está chegando a 20 kg/min. Então, a quantidade de sal que entra por minuto é:
Saída de sal:
A solução que sai está sendo retirada a 10 kg/min. A concentração de sal na solução que sai é a mesma que a concentração atual no tanque, ou seja, .
A massa total no tanque muda com o tempo, já que entramos e saímos massa:
Então, a concentração de sal é , e a taxa de saída de sal é:
í

Passo 4

Agora, vamos montar a equação diferencial que descreve a variação de sal no tanque:
í
Substituindo os valores que calculamos:

Passo 5

Para resolver essa equação diferencial, vamos simplificar primeiro:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Podemos resolvê-la usando o método do fator integrante.

Passo 6

Primeiro, encontramos o fator integrante :
Vamos calcular a integral no expoente:
Então,

Passo 7

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando:

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a :
Vamos calcular a integral:
Então,

Passo 9

Agora, resolvemos para :
Simplificando a fração:

Passo 10

Usamos a condição inicial para encontrar a constante :
Multiplicando ambos os lados por 100:

Passo 11

Substituindo na expressão de :

Resposta

A quantidade de sal no tanque em qualquer instante é dada por:

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