Questäo: Um tanque, inicialmente contendo 1000 kg de uma solução salina contendo
de sal/massa, é abastecido a uma vazāo volumétrica de
com uma soluçāo salina contendo 20% sal/massa. A solução resultante é mantida uniforme por agitaçăo e escoa para fora do tanque a uma vazāo volumétrica de
( 2,5 pontos).
a) Calcule a quantidade de sal existente no tanque em qualquer instante
a) Calcule a quantidade de sal existente no tanque em qualquer instante
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um tanque que tem uma solução salina. Inicialmente, ele contém 1000 kg dessa solução com 10% de sal. Estamos adicionando mais solução salina com 20% de sal a uma taxa de 20 kg por minuto e retirando a solução a 10 kg por minuto. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto sal tem no tanque em qualquer instante de tempo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de equilíbrio de massa e montar uma equação diferencial que descreve como a quantidade de sal no tanque muda com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir
como a quantidade de sal no tanque no instante
. Inicialmente, o tanque tem 1000 kg de solução com 10% de sal, então:
Passo 3
Agora, vamos analisar as taxas de entrada e saída de sal no tanque.
Entrada de sal:
A solução que entra tem 20% de sal e está chegando a 20 kg/min. Então, a quantidade de sal que entra por minuto é:
A solução que entra tem 20% de sal e está chegando a 20 kg/min. Então, a quantidade de sal que entra por minuto é:
Saída de sal:
A solução que sai está sendo retirada a 10 kg/min. A concentração de sal na solução que sai é a mesma que a concentração atual no tanque, ou seja, .
A solução que sai está sendo retirada a 10 kg/min. A concentração de sal na solução que sai é a mesma que a concentração atual no tanque, ou seja,
A massa total no tanque muda com o tempo, já que entramos e saímos massa:
Então, a concentração de sal é
, e a taxa de saída de sal é:
Passo 4
Agora, vamos montar a equação diferencial que descreve a variação de sal no tanque:
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 5
Para resolver essa equação diferencial, vamos simplificar primeiro:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Podemos resolvê-la usando o método do fator integrante.
Passo 6
Primeiro, encontramos o fator integrante
:
Vamos calcular a integral no expoente:
Então,
Passo 7
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
Vamos calcular a integral:
Então,
Passo 9
Agora, resolvemos para
:
Simplificando a fração:
Passo 10
Usamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Multiplicando ambos os lados por 100:
Passo 11
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
A quantidade de sal no tanque em qualquer instante
é dada por:
Exercícios relacionados
Responda:
(a) O que é descrição Lagrangeana?
(b) O que é descrição Euleriana?
© Qual a definição de linha de corrente?
(d) Qual a definição de tubo de corrente?
(a) O que é descrição Lagrangeana?
(b) O que é descrição Euleriana?
© Qual a definição de linha de corrente?
(d) Qual a definição de tubo de corrente?
Um campo de velocidade é dado por
e
, em que
é uma constante. Determine as com-
ponentes e
da aceleração. Em que ponto(s) no campo do escoamento a aceleração é zero. (R:
)
ponentes
b) Após quanto tempo a quantidade de sal no interior do tanque será de 200 kg ? (2,5 pontos).
Um tubo de aço com 5 cm de diâmetro interno e 7,6 cm de diâmetro externo, tendo
, está recoberto por uma camada isolante de espessura
e
. Um gás, aquecido a
, flui no interior do tubo. A superfície externa do isolante está exposta ao ar mais frio a
com
.
- Calcule a perda de calor do tubo para o ar ao longo de L=10m do tubo.
- Calcule as quedas de temperatura resultantes das resistências térmicas do fluxo de gás quente, do tubo de aço, da camada isolante e do ar externo.