1^0 Questäo: Um tanque, inicialmente contendo 1000 kg de uma solução salina contendo 10 % de sal/massa, é abastecido a uma vazāo volumétrica de 20 kg / min com uma soluçāo salina contendo 20% sal/massa. A solução resultante é mantida uniforme por agitaçăo e escoa para fora do tanque a uma vazāo volumétrica de 10 kg / min ( 2,5 pontos).
a) Calcule a quantidade de sal existente no tanque em qualquer instante

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um tanque que tem uma solução salina. Inicialmente, ele contém 1000 kg dessa solução com 10% de sal. Estamos adicionando mais solução salina com 20% de sal a uma taxa de 20 kg por minuto e retirando a solução a 10 kg por minuto. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto sal tem no tanque em qualquer instante de tempo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de equilíbrio de massa e montar uma equação diferencial que descreve como a quantidade de sal no tanque muda com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir S(0) = 1000 times 0,10 = 100 kg de sal como a quantidade de sal no tanque no instante . Inicialmente, o tanque tem 1000 kg de solução com 10% de sal, então:

Passo 3

Agora, vamos analisar as taxas de entrada e saída de sal no tanque.
Entrada de sal:
A solução que entra tem 20% de sal e está chegando a 20 kg/min. Então, a quantidade de sal que entra por minuto é:
Taxa de entrada = 20 times 0,20 = 4 kg/min
Saída de sal:
A solução que sai está sendo retirada a 10 kg/min. A concentração de sal na solução que sai é a mesma que a concentração atual no tanque, ou seja, Massa no tanque = 1000 + (20 - 10) times t = 1000 + 10t kg .
A massa total no tanque muda com o tempo, já que entramos e saímos massa:
Taxa de saída = 10 times S(t)1000 + 10t kg/min
Então, a concentração de sal é , e a taxa de saída de sal é:
í

Passo 4

Agora, vamos montar a equação diferencial que descreve a variação de sal no tanque:
dSdt = Taxa de entrada - Taxa de saída í
Substituindo os valores que calculamos:
dSdt = 4 - 10S(t)1000 + 10t

Passo 5

Para resolver essa equação diferencial, vamos simplificar primeiro:
dSdt + 101000 + 10t S(t) = 4
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Podemos resolvê-la usando o método do fator integrante.

Passo 6

Primeiro, encontramos o fator integrante mu(t) = e^integral 101000 + 10t dt :
integral 101000 + 10t dt = integral 1010(t + 100) dt = integral 1t + 100 dt = ln|t + 100|
Vamos calcular a integral no expoente:
mu(t) = e^ln(t + 100) = t + 100
Então,

Passo 7

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
(t + 100)dSdt + 101000 + 10t (t + 100) S(t) = 4(t + 100)
Simplificando:
ddt [S(t) cdot (t + 100)] = 4(t + 100)

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a S(t) cdot (t + 100) = integral 4(t + 100) dt + C :
integral 4(t + 100) dt = 4 ( t^22 + 100t ) = 2t^2 + 400t
Vamos calcular a integral:
S(t) cdot (t + 100) = 2t^2 + 400t + C
Então,

Passo 9

Agora, resolvemos para S(t) = 2t^2 + 400t + Ct + 100 :
S(t) = 2t + 20000 + Ct + 100
Simplificando a fração:

Passo 10

Usamos a condição inicial 100 = 2(0) + 20000 + C0 + 100 para encontrar a constante 100 = 20000 + C100 :
10000 = 20000 + C
C = -10000
Multiplicando ambos os lados por 100:

Passo 11

Substituindo S(t) = 2t + 20000 - 10000t + 100 na expressão de S(t) = 2t + 10000t + 100 :

Resposta

A quantidade de sal no tanque em qualquer instante S(t) = 2t + 10000t + 100 kg é dada por:

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