Para um campo de velocidade
, onde
, e as coordenadas são medidas em metros, obtenha uma equação para as linhas de corrente do escoamento. Trace diversas linhas de corrente para valores positivos de y.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo de velocidade definido por
, onde
e
. As coordenadas estão em metros. Precisamos encontrar uma equação para as linhas de corrente desse escoamento e traçar algumas delas para valores positivos de
.
Vamos precisar entender o que são linhas de corrente, como relacioná-las com o campo de velocidade dado e resolver uma equação diferencial para obter a forma dessas linhas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são linhas de corrente. Em um campo de velocidade, uma linha de corrente é uma trajetória que uma partícula seguiriam se fosse movida pelo fluxo sem atrito. Matematicamente, isso significa que em cada ponto da linha de corrente, a direção da velocidade é tangente à linha.
Para encontrar a equação das linhas de corrente, usamos a relação:
onde
e
são as componentes da velocidade nas direções
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos substituir os valores de
e
na equação:
Então,
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial de separação de variáveis. Vamos rearranjar para separar
e
:
Passo 5
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Podemos simplificar a expressão exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Sabendo que , temos:
onde
é uma nova constante.
Passo 7
Portanto, a equação das linhas de corrente é:
Onde
é uma constante que determina a posição específica de cada linha de corrente.
Passo 8
Para traçar diversas linhas de corrente para valores positivos de
, podemos escolher diferentes valores de
e desenhar as curvas correspondentes. Por exemplo:
- Para
: - Para
: - Para
:
Essas curvas irão se aproximar do eixo
conforme
aumenta e se afastar conforme
diminui, mantendo sempre
.
Resposta
A equação das linhas de corrente do escoamento é:
onde
é uma constante que varia para cada linha de corrente específica.