Para um campo de velocidade , onde , e as coordenadas são medidas em metros, obtenha uma equação para as linhas de corrente do escoamento. Trace diversas linhas de corrente para valores positivos de y.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo de velocidade definido por , onde e . As coordenadas estão em metros. Precisamos encontrar uma equação para as linhas de corrente desse escoamento e traçar algumas delas para valores positivos de .
Vamos precisar entender o que são linhas de corrente, como relacioná-las com o campo de velocidade dado e resolver uma equação diferencial para obter a forma dessas linhas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são linhas de corrente. Em um campo de velocidade, uma linha de corrente é uma trajetória que uma partícula seguiriam se fosse movida pelo fluxo sem atrito. Matematicamente, isso significa que em cada ponto da linha de corrente, a direção da velocidade é tangente à linha.
Para encontrar a equação das linhas de corrente, usamos a relação:
onde e são as componentes da velocidade nas direções e , respectivamente.

Passo 3

Vamos substituir os valores de e na equação:
Então,

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial de separação de variáveis. Vamos rearranjar para separar e :

Passo 5

Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Podemos simplificar a expressão exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Sabendo que , temos:
onde é uma nova constante.

Passo 7

Portanto, a equação das linhas de corrente é:
Onde é uma constante que determina a posição específica de cada linha de corrente.

Passo 8

Para traçar diversas linhas de corrente para valores positivos de , podemos escolher diferentes valores de e desenhar as curvas correspondentes. Por exemplo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Essas curvas irão se aproximar do eixo conforme aumenta e se afastar conforme diminui, mantendo sempre .

Resposta

A equação das linhas de corrente do escoamento é:
onde é uma constante que varia para cada linha de corrente específica.

Exercícios relacionados

Para os campos de velocidade dados abaixo, determine:
a) Se o campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional, e por quê.
b) Se o escoamento é em regime permanente ou transiente, e por quê.
(as quantidades a e b são constantes)
Qual o objetivo de utilizar um manômetro de tubo inclinado? Mostre seu raciocínio utilizando equações matemáticas.
Explique 3 formas de medir pressão de forma industrial.