Para um campo de velocidade V=a x^2 imath+b x y jmath, onde a=1 m^-1 s^-1 e b=-1 / 2 m^-1 s^-1, e as coordenadas são medidas em metros, obtenha uma equação para as linhas de corrente do escoamento. Trace diversas linhas de corrente para valores positivos de y.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo de velocidade definido por , onde e . As coordenadas estão em metros. Precisamos encontrar uma equação para as linhas de corrente desse escoamento e traçar algumas delas para valores positivos de .
Vamos precisar entender o que são linhas de corrente, como relacioná-las com o campo de velocidade dado e resolver uma equação diferencial para obter a forma dessas linhas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são linhas de corrente. Em um campo de velocidade, uma linha de corrente é uma trajetória que uma partícula seguiriam se fosse movida pelo fluxo sem atrito. Matematicamente, isso significa que em cada ponto da linha de corrente, a direção da velocidade é tangente à linha.
Para encontrar a equação das linhas de corrente, usamos a relação:
dydx = VyVx
onde e são as componentes da velocidade nas direções e , respectivamente.

Passo 3

Vamos substituir os valores de Vx = a x^2 = 1 cdot x^2 = x^2 e Vy = b x y = -12 x y na equação:
dydx = -12 x yx^2 = -y2x
Então,

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial:
dydx = -y2x
Essa é uma equação diferencial de separação de variáveis. Vamos rearranjar para separar dyy = -12 dxx e :

Passo 5

Integrando ambos os lados:
integral 1y , dy = -12 integral 1x , dx
Isso resulta em:
ln|y| = -12 ln|x| + C
onde é a constante de integração.

Passo 6

Podemos simplificar a expressão exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
y = e^-12 ln|x| + C = e^C cdot e^-12 ln|x|
Sabendo que , temos:
y = K cdot x^-12
onde é uma nova constante.

Passo 7

Portanto, a equação das linhas de corrente é:
y = Kraizx
Onde é uma constante que determina a posição específica de cada linha de corrente.

Passo 8

Para traçar diversas linhas de corrente para valores positivos de , podemos escolher diferentes valores de e desenhar as curvas correspondentes. Por exemplo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Essas curvas irão se aproximar do eixo conforme aumenta e se afastar conforme diminui, mantendo sempre .

Resposta

A equação das linhas de corrente do escoamento é:
y = Kraizx
onde é uma constante que varia para cada linha de corrente específica.

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