Para os campos de velocidade dados abaixo, determine:
a) Se o campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional, e por quê.
b) Se o escoamento é em regime permanente ou transiente, e por quê.
(as quantidades a e b são constantes)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo de velocidade dado por . A questão pede para saber se esse escoamento é unidimensional, bidimensional ou tridimensional, e também se ele é em regime permanente ou transiente. Pra resolver isso, vamos precisar entender como a velocidade varia nas diferentes direções e se ela muda com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos ver a dimensionalidade do escoamento. Isso significa olhar para como a velocidade varia nas diferentes direções espaciais. No nosso caso, temos três componentes de velocidade: na direção , na direção e na direção .

Passo 3

Um escoamento é unidimensional se a velocidade varia apenas ao longo de uma direção. É bidimensional se varia em duas direções e tridimensional se varia em três direções. Vamos analisar isso:
  • A componente depende de .
  • A componente depende de .
  • A componente não depende de nenhuma coordenada espacial, mas varia com o tempo .
Como as velocidades nas direções e dependem de e respectivamente, e a componente em varia com o tempo, o escoamento está variando em mais de uma direção espacial. Isso significa que é bidimensional.

Passo 4

Agora, vamos ver se o escoamento é permanente ou transiente. Um escoamento é permanente se as velocidades não mudam com o tempo, ou seja, são constantes no tempo. É transiente se há variação temporal nas velocidades.
Olhando para a componente na direção , vemos que ela depende do tempo . Isso indica que a velocidade nessa direção está mudando com o tempo, ou seja, o escoamento não é estável ao longo do tempo.

Resposta

a) O campo de escoamento é bidimensional, pois as velocidades variam nas direções e .
b) O escoamento é transiente, já que a componente de velocidade na direção depende do tempo .

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