Em um canal retangular, no qual está ocorrendo um ressalto hidráulico, mostre que a relação entre a altura crítica yc e as alturas conjugadas do ressalto y1 e y2, é dada por:
yc=[0,5 cdot y1 cdot y2(y1+y2)]^1 / 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um ressalto hidráulico que acontece em um canal retangular. A gente precisa mostrar como a altura crítica $ y_{\mathrm{c}} $ se relaciona com as alturas conjugadas do ressalto, que são $ y_{1} $ e $ y_{2} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de hidráulica de canais, como conservação de quantidade de movimento e energia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ressalto hidráulico. É uma transição brusca entre duas velocidades diferentes de fluxo em um canal, geralmente de rápido para mais lento, causando aumento na profundidade da água. As alturas $ y_{1} $ e $ y_{2} $ são as alturas antes e depois do ressalto, respectivamente.

Passo 3

Para relacionar $ y_{\mathrm{c}} $, $ y_{1} $ e $ y_{2} $, usamos a conservação da quantidade de movimento. A equação básica para um ressalto hidráulico em um canal retangular é:
yc
Onde $ F $ é o número de Froude. Mas vamos focar na relação que envolve a altura crítica.

Passo 4

A altura crítica $ y_{\mathrm{c}} $ é a altura em que o número de Froude $ F = 1 $. O número de Froude é definido como:
yc
Onde $ V $ é a velocidade média do fluxo, $ g $ é a aceleração da gravidade e $ y $ é a profundidade.

Passo 5

No ponto crítico, como $ F = 1 $, temos:
F = 1
Essa relação é chave para conectar as alturas $ y_{1} $, $ y_{2} $ e $ y_{\mathrm{c}} $.

Passo 6

Voltando à conservação da quantidade de movimento para o ressaltoro, a equação pode ser reescrita em termos de $ y_{\mathrm{c}} $:
yc
Isso vem da manipulação das equações de conservação aplicadas ao fluxo antes e depois do ressalto.

Passo 7

Finalmente, isolando $ y_{\mathrm{c}} $, tiramos a raiz cúbica dos dois lados:
yc

Resposta

Assim, mostramos que a altura crítica está relacionada às alturas conjugadas do ressalto pela fórmula:
yc = [ 0,5 cdot y1 cdot y2 cdot (y1 + y2) ]^1/3

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