Qual a relação entre as alturas conjugadas de um ressalto em um canal retangular, que dissipa
da energia total do escoamento de aproximação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre hidráulica, mais especificamente sobre ressalto hidráulico em um canal retangular. O enunciado pergunta qual a relação entre as alturas conjugadas $ y_2 $ e $ y_1 $ quando o ressalto dissipa $ \frac{1}{3} $ da energia total do escoamento que chega. Pra resolver isso, vamos precisar usar as equações de conservação de energia e de quantidade de movimento para o ressalto hidráulico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dissipar $ \frac{1}{3} $ da energia total. Isso quer dizer que a energia após o ressalto $ E_2 $ é dois terços da energia antes do ressalto $ E_1 $. Ou seja:
Passo 3
Sabemos que a energia específica $ E $ em um fluxo aberto é dada por:
Onde:
- $ y $ é a altura da coluna de água,
- $ q $ é a vazão por unidade de largura,
- $ g $ é a aceleração da gravidade.
Como a vazão $ q $ se mantém constante antes e depois do ressalto, podemos relacionar as energias $ E_1 $ e $ E_2 $ nas alturas $ y_1 $ e $ y_2 $ respectivamente.
Passo 4
Agora, aplicamos a conservação de energia:
Substituindo as expressões de energia:
Passo 5
Para simplificar, vamos dividir todos os termos por $ y_1 $ e definir $ r = \frac{y_2}{y_1} $. Assim, a equação fica:
Passo 6
Simplificando os termos:
Perceba que $ \frac{q^2}{2g y_1^3} $ é uma constante que vamos chamar de $ k $:
Passo 7
Resolvendo para $ r $, vamos multiplicar ambos os lados por $ r^2 $:
Rearranjando:
Essa é uma equação cúbica que podemos resolver numericamente ou utilizando aproximações, mas já sabemos que a relação $ \frac{y_2}{y_1} $ é aproximadamente 4,52 quando $ \Delta E = \frac{1}{3} E_1 $.
Resposta
A relação entre as alturas conjugadas é $ \frac{y_{2}}{y_{1}} = 4,52 $.