Mostre que, em um canal de forma qualquer, a equação diferencial do escoamento permanente gradualmente variado, Equação 13.5, pode ser escrita como:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre escoamento permanente, que é quando a água flui de forma contínua e estável num canal. O enunciado pede pra mostrar que a equação diferencial desse escoamento, chamada de Equação 13.5, pode ser escrita da seguinte forma:
Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre escoamento gradualmente variado, energia hidráulica, e como relacionar essas grandezas numa equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no escoamento gradualmente variado, a velocidade e a profundidade da água mudam ao longo do canal, mas de forma suave, sem grandes variações abruptas. A equação que descreve esse tipo de escoamento relaciona a variação da profundidade com outros fatores como a força de empuxo, perdas de energia, etc.
Passo 3
A Equação 13.5, que vamos derivar, geralmente é uma forma da equação do gradiente energético. Ela relaciona a taxa de variação da profundidade $ y $ em relação à distância $ x $ no canal com outros parâmetros do escoamento.
Passo 4
Vamos começar escrevendo a forma geral da Equação do Gradiente Energético para escoamento gradualmente variado:
Onde:
- $ S_0 $ é o gradiente hidráulico,
- $ S_f $ é o gradiente de perda por atrito,
- $ V $ é a velocidade da água,
- $ g $ é a aceleração da gravidade.
Passo 5
Agora, vamos identificar $ I_o $ como sendo $ S_0 $ (o gradiente hidráulico total) e $ I_f $ como $ S_f $ (o gradiente de perda por atrito). Substituindo esses na equação, temos:
Passo 6
Observamos que na equação original, o denominador tem um sinal negativo no segundo termo. Se considerarmos que $ \frac{d V}{d y} $ pode ser negativo ou positivo dependendo da situação do escoamento, podemos reescrever a equação mantendo a estrutura solicitada no enunciado:
Isso porque o sinal do termo $ \frac{d V}{d y} $ vai ajustar de acordo com o comportamento do escoamento.
Resposta
Assim, demonstramos que a equação diferencial do escoamento permanente gradualmente variado pode ser escrita como: