Um canal de televisão afirma que
dos telespectadores estavam ligados na sua programação dominical. Uma pesquisa com 200 famílias indicou que 104 delas estavam efetivamente assistindo aos programas. Ao nível de significância de
a proporção de telespectadores é menos do que
?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o problema. Uma TV afirma que 60% dos telespectadores estão assistindo à programação de domingo. Fizemos uma pesquisa com 200 famílias e descobrimos que 104 estavam assistindo mesmo. Nosso objetivo é verificar, com 2% de confiança, se a proporção real de telespectadores é realmente menor que 60%. Vamos usar estatística de teste de proporção para resolver isso.
Passo 2
Vamos definir as hipóteses para o nosso teste. A hipótese nula (
) é que a proporção de telespectadores é igual a 60%, ou seja,
. A hipótese alternativa (
) é que a proporção é menor que 60%, ou seja,
.
Passo 3
Agora, calculamos a proporção observada na nossa amostra. Foram 104 famílias assistindo de 200 pesquisadas:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o erro padrão da proporção. A fórmula é:
Aqui,
é a proporção da hipótese nula (0.60) e
é o tamanho da amostra (200).
Passo 5
Agora, calculamos o valor do teste (z-score) usando a fórmula:
Passo 6
Vamos encontrar o valor crítico z para um teste unilateral à esquerda com nível de significância de 2%. Consultando a tabela z, o valor crítico é aproximadamente
.
Passo 7
Comparamos o valor calculado de z (-2.31) com o valor crítico (-2.05). Como -2.31 é menor que -2.05, rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com nível de significância de 2%, há evidências suficientes para concluir que a proporção de telespectadores é menor que 60%.