Um canal de televisão afirma que 60 % dos telespectadores estavam ligados na sua programação dominical. Uma pesquisa com 200 famílias indicou que 104 delas estavam efetivamente assistindo aos programas. Ao nível de significância de 2 % a proporção de telespectadores é menos do que 60 % ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o problema. Uma TV afirma que 60% dos telespectadores estão assistindo à programação de domingo. Fizemos uma pesquisa com 200 famílias e descobrimos que 104 estavam assistindo mesmo. Nosso objetivo é verificar, com 2% de confiança, se a proporção real de telespectadores é realmente menor que 60%. Vamos usar estatística de teste de proporção para resolver isso.

Passo 2

Vamos definir as hipóteses para o nosso teste. A hipótese nula ( H0) é que a proporção de telespectadores é igual a 60%, ou seja, p = 0.60. A hipótese alternativa ( H1) é que a proporção é menor que 60%, ou seja, p < 0.60.

Passo 3

Agora, calculamos a proporção observada na nossa amostra. Foram 104 famílias assistindo de 200 pesquisadas:
p = 104200 = 0.52

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o erro padrão da proporção. A fórmula é:
SE = raizp0 (1 - p0)n = raiz0.60 times 0.40200 = raiz0.0012 approx 0.03464
Aqui, p0 é a proporção da hipótese nula (0.60) e n é o tamanho da amostra (200).

Passo 5

Agora, calculamos o valor do teste (z-score) usando a fórmula:
z = p - p0SE = 0.52 - 0.600.03464 approx -0.080.03464 approx -2.31

Passo 6

Vamos encontrar o valor crítico z para um teste unilateral à esquerda com nível de significância de 2%. Consultando a tabela z, o valor crítico é aproximadamente z0.02 = -2.05.

Passo 7

Comparamos o valor calculado de z (-2.31) com o valor crítico (-2.05). Como -2.31 é menor que -2.05, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com nível de significância de 2%, há evidências suficientes para concluir que a proporção de telespectadores é menor que 60%.

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