Uma transportadora de mercadorias tem duas possibilidades de trajeto para realizar entregas. O gerente de logística desconfia não haver diferença significativa entre o tempo de cada trajeto. Foram selecionadas aleatoriamente 45 entregas realizadas no primeiro trajeto, resultando em uma média amostral de 57 minutos. No segundo trajeto, foram selecionadas aleatoriamente 30 entregas, e o tempo médio foi de 54 minutos. O desvio-padrão populacional do primeiro trajeto é de sigma 1=8 minutos, e o do segundo trajeto é de sigma 2= 6 minutos. Teste a hipótese de que não existe diferença significativa entre o tempo médio dos dois trajetos, ao nível de 1 % de significância.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre comparar o tempo médio de dois trajetos que uma transportadora usa para fazer entregas. A gente quer saber se, de verdade, não tem diferença significativa entre os tempos dessas duas rotas. Para resolver isso, vamos precisar usar testes de hipóteses, especificamente um teste para comparar duas médias com desvios-padrão conhecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar. A hipótese nula ( H0) é que não há diferença nos tempos médios dos dois trajetos. Já a hipótese alternativa ( Ha) é que existe uma diferença significativa entre eles.
H0: mu1 - mu2 = 0
Ha: mu1 - mu2 neq 0

Passo 3

Como conhecemos os desvios-padrão populacionais dos dois trajetos ( sigma1 = 8 minutos e sigma2 = 6 minutos), vamos usar o teste z para a diferença entre duas médias.

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor do teste estatístico z. A fórmula para isso é:
z = (barX1 - barX2) - (mu1 - mu2)raizsigma1^2n1 + sigma2^2n2
Como estamos assumindo que mu1 - mu2 = 0 sob a hipótese nula, a fórmula fica:
z = barX1 - barX2raizsigma1^2n1 + sigma2^2n2
Vamos substituir os valores:
z = 57 - 54raiz8^245 + 6^230 = 3raiz6445 + 3630 = 3raiz1.422 + 1.2 = 3raiz2.622 approx 31.619 approx 1.854

Passo 5

Agora, vamos determinar o valor crítico para o nível de significância de 1%. Como é um teste bicaudal (estamos verificando se é diferente, não apenas maior ou menor), dividimos o nível de significância pela metade para cada cauda. O valor crítico para z a 0,5% de cada lado é aproximadamente pm 2.576.

Passo 6

Vamos comparar o nosso valor calculado de z approx 1.854 com os valores críticos pm 2.576:
  • Se |z| > 2.576, rejeitamos a hipótese nula.
  • Se |z| <= 2.576, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso, 1.854 < 2.576, então não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com um nível de significância de 1%, não encontramos evidências suficientes para afirmar que há uma diferença significativa entre os tempos médios dos dois trajetos. Ou seja, não há diferença significativa nos tempos médios de entrega pelos dois trajetos.

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