Na indústria, baixa variabilidade é sinônimo de qualidade.
Para isso, constantemente monitora-se e corrige-se a produção para manter níveis aceitáveis de qualidade.
Uma amostra de frascos de medicamento foi inspecionada em relação à concentração ( m / m ) de princípio ativo na solução. O lote é rejeitado se claramente ultrapassar o limite de sigma 2=0,0009. Os dados estão abaixo.
0, 15 ; 0,18 ; 0,18 ; 0,20 ; 0,21 ; 0,22 ; 0,25 ; 0,27
0, 17 ; 0,18 ; 0,19 ; 0,20 ; 0,21 ; 0,22 ; 0,26 ; 0,27
Faça um teste para verificar se a variância é maior do que 0,0009 , com alpha=5 %.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um cenário na indústria onde manter a variabilidade baixa é essencial para garantir a qualidade dos produtos. Especificamente, estamos analisando a concentração de um princípio ativo em frascos de medicamento. O objetivo é verificar se a variância dessa concentração está acima do limite aceitável de $ \sigma^2 = 0,0009 $. Para isso, vamos usar um teste estatístico de variância com um nível de significância de $ \alpha = 5% $. Precisaremos calcular a variância amostral e aplicar o teste qui-quadrado para tomar nossa decisão.

Passo 2

Primeiro, vamos reunir todos os dados fornecidos. Temos duas amostras:
  • Primeira amostra: 0,15; 0,18; 0,18; 0,20; 0,21; 0,22; 0,25; 0,27
  • Segunda amostra: 0,17; 0,18; 0,19; 0,20; 0,21; 0,22; 0,26; 0,27
Vamos combinar essas duas amostras para formar uma única amostra de 16 observações.

Passo 3

Agora, vamos calcular a média ($ \bar{x} $) dessa amostra combinada. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
barx
Calculando isso:
barx = 0,15 + 0,18 + 0,18 + 0,20 + 0,21 + 0,22 + 0,25 + 0,27 + 0,17 + 0,18 + 0,19 + 0,20 + 0,21 + 0,22 + 0,26 + 0,2716

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a variância amostral ($ s^2 $). A variância mede a dispersão dos dados em relação à média e é calculada usando a seguinte fórmula:
s^2
Onde:
  • $ x_i $ = cada valor da amostra
  • $ \bar{x} $ = média da amostra
  • $ n $ = número de observações
Vamos calcular cada termo $ (x_i - \bar{x})^2 $, somar todos e dividir por $ n - 1 $.

Passo 5

Calculando cada $ (x_i - \bar{x})^2 $:
(xi - barx)^2
Somando todos esses valores:
(0,15 - 0,1875)^2 &= 0,00140625 (0,18 - 0,1875)^2 &= 0,00005625 (0,18 - 0,1875)^2 &= 0,00005625 (0,20 - 0,1875)^2 &= 0,00015625 (0,21 - 0,1875)^2 &= 0,00050625 (0,22 - 0,1875)^2 &= 0,00140625 (0,25 - 0,1875)^2 &= 0,00390625 (0,27 - 0,1875)^2 &= 0,00680625 (0,17 - 0,1875)^2 &= 0,00030625 (0,18 - 0,1875)^2 &= 0,00005625 (0,19 - 0,1875)^2 &= 0,00001225 (0,20 - 0,1875)^2 &= 0,00015625 (0,21 - 0,1875)^2 &= 0,00050625 (0,22 - 0,1875)^2 &= 0,00140625 (0,26 - 0,1875)^2 &= 0,00515625 (0,27 - 0,1875)^2 &= 0,00680625
Agora, dividimos essa soma por $ n - 1 = 16 - 1 = 15 $:
0,00140625 + 0,00005625 + 0,00005625 + 0,00015625 + 0,00050625 + 0,00140625 + 0,00390625 + 0,00680625 + 0,00030625 + 0,00005625 + 0,00001225 + 0,00015625 + 0,00050625 + 0,00140625 + 0,00515625 + 0,00680625 = 0,0275

Passo 6

Agora que temos a variância amostral ($ s^2 \approx 0,001833 $), vamos realizar o teste qui-quadrado para verificar se essa variância é significativamente maior que o limite estabelecido de $ \sigma^2 = 0,0009 $.
As hipóteses são:
  • Hipótese Nula ($ H_0 $): $ \sigma^2 \leq 0,0009 $ (a variância não é maior que 0,0009)
  • Hipótese Alternativa ($ H_a $): $ \sigma^2 > 0,0009 $ (a variância é maior que 0,0009)

Passo 7

Vamos calcular o valor de teste qui-quadrado usando a fórmula:
chi^2 = (n - 1)s^2sigma0^2
Onde:
  • $ n = 16 $
  • $ s^2 \approx 0,001833 $
  • $ \sigma_0^2 = 0,0009 $
Substituindo os valores:
n = 16

Passo 8

Agora, precisamos determinar o valor crítico da distribuição qui-quadrado para $ \alpha = 5% $ e $ df = n - 1 = 15 $ graus de liberdade. Como estamos testando se a variância é maior que o valor estabelecido, nosso teste é unilateral à direita.
Consultando uma tabela de distribuição qui-quadrado, encontramos que o valor crítico para $ \alpha = 0,05 $ e $ df = 15 $ é aproximadamente $ \chi^2_{crítico} = 25,0 $.

Passo 9

Comparamos o valor calculado de $ \chi^2 $ com o valor crítico:
chi^2
Como $ 30,56 $ é maior que $ 25,0 $, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base no teste qui-quadrado, há evidências suficientes para concluir que a variância da concentração de princípio ativo nos frascos de medicamento é maior que $ 0,0009 $ com um nível de significância de $ 5% $. Portanto, o lote deve ser rejeitado.

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