Na indústria, baixa variabilidade é sinônimo de qualidade.
Para isso, constantemente monitora-se e corrige-se a produção para manter níveis aceitáveis de qualidade.
Uma amostra de frascos de medicamento foi inspecionada em relação à concentração (
) de princípio ativo na solução. O lote é rejeitado se claramente ultrapassar o limite de
. Os dados estão abaixo.
0,
0,
Faça um teste para verificar se a variância é maior do que 0,0009 , com
.
Para isso, constantemente monitora-se e corrige-se a produção para manter níveis aceitáveis de qualidade.
Uma amostra de frascos de medicamento foi inspecionada em relação à concentração (
0,
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Faça um teste para verificar se a variância é maior do que 0,0009 , com
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um cenário na indústria onde manter a variabilidade baixa é essencial para garantir a qualidade dos produtos. Especificamente, estamos analisando a concentração de um princípio ativo em frascos de medicamento. O objetivo é verificar se a variância dessa concentração está acima do limite aceitável de $ \sigma^2 = 0,0009 $. Para isso, vamos usar um teste estatístico de variância com um nível de significância de $ \alpha = 5% $. Precisaremos calcular a variância amostral e aplicar o teste qui-quadrado para tomar nossa decisão.
Passo 2
Primeiro, vamos reunir todos os dados fornecidos. Temos duas amostras:
- Primeira amostra: 0,15; 0,18; 0,18; 0,20; 0,21; 0,22; 0,25; 0,27
- Segunda amostra: 0,17; 0,18; 0,19; 0,20; 0,21; 0,22; 0,26; 0,27
Vamos combinar essas duas amostras para formar uma única amostra de 16 observações.
Passo 3
Agora, vamos calcular a média ($ \bar{x} $) dessa amostra combinada. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
Calculando isso:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a variância amostral ($ s^2 $). A variância mede a dispersão dos dados em relação à média e é calculada usando a seguinte fórmula:
Onde:
- $ x_i $ = cada valor da amostra
- $ \bar{x} $ = média da amostra
- $ n $ = número de observações
Vamos calcular cada termo $ (x_i - \bar{x})^2 $, somar todos e dividir por $ n - 1 $.
Passo 5
Calculando cada $ (x_i - \bar{x})^2 $:
Somando todos esses valores:
Agora, dividimos essa soma por $ n - 1 = 16 - 1 = 15 $:
Passo 6
Agora que temos a variância amostral ($ s^2 \approx 0,001833 $), vamos realizar o teste qui-quadrado para verificar se essa variância é significativamente maior que o limite estabelecido de $ \sigma^2 = 0,0009 $.
As hipóteses são:
- Hipótese Nula ($ H_0 $): $ \sigma^2 \leq 0,0009 $ (a variância não é maior que 0,0009)
- Hipótese Alternativa ($ H_a $): $ \sigma^2 > 0,0009 $ (a variância é maior que 0,0009)
Passo 7
Vamos calcular o valor de teste qui-quadrado usando a fórmula:
Onde:
- $ n = 16 $
- $ s^2 \approx 0,001833 $
- $ \sigma_0^2 = 0,0009 $
Substituindo os valores:
Passo 8
Agora, precisamos determinar o valor crítico da distribuição qui-quadrado para $ \alpha = 5% $ e $ df = n - 1 = 15 $ graus de liberdade. Como estamos testando se a variância é maior que o valor estabelecido, nosso teste é unilateral à direita.
Consultando uma tabela de distribuição qui-quadrado, encontramos que o valor crítico para $ \alpha = 0,05 $ e $ df = 15 $ é aproximadamente $ \chi^2_{crítico} = 25,0 $.
Passo 9
Comparamos o valor calculado de $ \chi^2 $ com o valor crítico:
Como $ 30,56 $ é maior que $ 25,0 $, rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com base no teste qui-quadrado, há evidências suficientes para concluir que a variância da concentração de princípio ativo nos frascos de medicamento é maior que $ 0,0009 $ com um nível de significância de $ 5% $. Portanto, o lote deve ser rejeitado.