Uma canalização é constituída de três trechos em série, com as características indicadas na tabela a seguir. Qual o diâmetro de uma tubulação de PVC (C =140) de diâmetro único que substitui o sistema em série, seguindo o mesmo traçado?
Trecho
Diametro
|c|c|c|c| hline Trecho & c Diametro $(m m)$
Comprimento
c Comprimento $(m)$
Coef. C
(Hazon-
Wilitams)
1 200 600 90
2 250 300 120
3 300 800 100

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede! Temos uma canalização dividida em três trechos diferentes, cada um com seu diâmetro, comprimento e um coeficiente C (que está relacionado ao material da tubulação). O objetivo aqui é encontrar o diâmetro de uma única tubulação de PVC, com um coeficiente C igual a 140, que substitua esses três trechos em série, mantendo o mesmo comportamento hidráulico.
Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de Hazen-Williams, que relaciona o diâmetro da tubulação, o comprimento, o coeficiente C e a perda de carga (ou resistência hidráulica). Essa fórmula é muito útil na hidráulica para calcular a perda de carga em tubulações de água.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula de Hazen-Williams para calcular a perda de carga (hf):
hf = 10.67 times L times Q^1.852C^1.852 times D^4.87
Onde:
  • $ hf $ é a perda de carga
  • $ L $ é o comprimento do trecho
  • $ Q $ é a vazão
  • $ C $ é o coeficiente de Hazen-Williams
  • $ D $ é o diâmetro interno da tubulação
Como queremos substituir os três trechos por um único, precisamos somar as resistências hidráulicas de cada trecho e igualar à resistência da nova tubulação de PVC.

Passo 3

Vamos calcular a resistência hidráulica de cada trecho usando a fórmula de Hazen-Williams. Para isso, como queremos substituir os trechos por um único diâmetro, assumimos que a vazão $ Q $ é a mesma em todos os trechos. Assim, podemos simplificar a relação da resistência hidráulica proporcional a $ \frac{L}{C^{1.852} \times D^{4.87}} $.
Então, para cada trecho, temos:
Q
Vamos calcular cada $ R_i $:
  • Trecho 1:
    LC^1.852 times D^4.87
  • Trecho 2:
    Ri = LiCi^1.852 times Di^4.87
  • Trecho 3:
    Ri

Passo 4

Calculando cada resistência:
  • Trecho 1:
    R1 = 60090^1.852 times 200^4.87 approx 60014039.5 times 309936.4 approx 6004.356 times 10^9 approx 1.38 times 10^-7
  • Trecho 2:
    R2 = 300120^1.852 times 250^4.87 approx 30030123.8 times 152587890.6 approx 3004.593 times 10^12 approx 6.54 times 10^-11
  • Trecho 3:
    R3 = 800100^1.852 times 300^4.87 approx 80010000 times 810000000 approx 8008.1 times 10^12 approx 9.88 times 10^-11

Passo 5

Agora, somamos as resistências dos três trechos para obter a resistência total $ R_{total} $:
Rtotal
Como os valores de $ R_2 $ e $ R_3 $ são muito menores comparados a $ R_1 $, podemos aproximar que $ R_{total} \approx R_1 $.

Passo 6

Agora, queremos encontrar o diâmetro $ D $ da nova tubulação de PVC com $ C = 140 $ que tenha a mesma resistência total. Usamos novamente a fórmula de Hazen-Williams, mas desta vez isolamos $ D $:
D
Reorganizando para $ D $:
C = 140
Considerando que $ R_{total} \approx R_1 $ e substituindo os valores:
D

Passo 7

Calculando os valores:
Primeiro, calculamos $ 140^{1.852} $:
140^1.852
Agora, substituímos na equação:
140^1.852 approx 140^1 times 140^0.852 approx 140 times 37.5 approx 5250
Calculando a potência:
D = ( 6005250 times 1.38 times 10^-7 )^14.87 approx ( 6007.245 times 10^-4 )^14.87 approx ( 8.28 times 10^5 )^14.87

Resposta

O diâmetro da tubulação de PVC que substitui o sistema em série é aproximadamente 295 mm.

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