(*) Numa certa população de peixes de água doce da espécie Cottus rotheus a distribuição do número N de vértebras da cauda é dada por:
no. de vértebras 20 21 22 23
percentagem de peixes 3 51 40 6
(a) Determine a probabilidade de que um peixe escolhido ao acaso desta população tenha mais do que 21 vértebras na cauda.
(b) Determine a probabilidade de que um peixe escolhido ao acaso desta população tenha não mais do que 22 vértebras na cauda.
© Calcule a média e a variância de N.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata da distribuição do número de vértebras na cauda de peixes da espécie Cottus rotheus. A gente tem uma tabela que mostra quantos por cento da população têm 20, 21, 22 ou 23 vértebras. Vamos precisar entender um pouco de probabilidade e estatística básica para resolver as partes (a), (b) e © desse exercício.

Passo 2

Parte (a): Queremos saber a probabilidade de um peixe escolhido ao acaso ter mais de 21 vértebras na cauda.
Primeiro, vamos identificar quais são os números de vértebras maiores que 21 na tabela. Olhando a tabela:
  • 22 vértebras: 40%
  • 23 vértebras: 6%
A probabilidade total será a soma dessas porcentagens.
Então, a probabilidade $ P(N > 21) $ é:
P(N > 21)

Passo 3

Parte (b): Agora, queremos saber a probabilidade de um peixe ter não mais que 22 vértebras na cauda. Isso significa que o peixe pode ter 20, 21 ou 22 vértebras.
Vamos somar as porcentagens correspondentes:
  • 20 vértebras: 3%
  • 21 vértebras: 51%
  • 22 vértebras: 40%
Então, a probabilidade $ P(N \leq 22) $ é:
P(N <= 22)

Passo 4

Parte ©: Agora, precisamos calcular a média e a variância do número de vértebras $ N $.
Para a média ($ \mu $):
A média é calculada multiplicando cada número de vértebras pela sua respectiva probabilidade e somando tudo.
N
Vamos calcular passo a passo:
mu
mu = sum (n times P(n)) = 20 times 0.03 + 21 times 0.51 + 22 times 0.40 + 23 times 0.06
20 times 0.03 = 0.6
21 times 0.51 = 10.71
Somando tudo:
22 times 0.40 = 8.8
Então, a média é 21,49 vértebras.
Para a variância ($ \sigma^2 $):
A variância é calculada pela média dos quadrados menos o quadrado da média.
Primeiro, calculamos a média dos quadrados:
23 times 0.06 = 1.38
Calculando cada termo:
mu = 0.6 + 10.71 + 8.8 + 1.38 = 21.49
sigma^2
E(N^2) = sum (n^2 times P(n)) = 20^2 times 0.03 + 21^2 times 0.51 + 22^2 times 0.40 + 23^2 times 0.06
20^2 times 0.03 = 400 times 0.03 = 12
Somando tudo:
21^2 times 0.51 = 441 times 0.51 = 225
Agora, a variância:
22^2 times 0.40 = 484 times 0.40 = 193.6
23^2 times 0.06 = 529 times 0.06 = 31.74
Então, a variância é 1,14 vértebras².

Resposta

(a) A probabilidade de um peixe ter mais de 21 vértebras na cauda é 46%.
(b) A probabilidade de um peixe ter não mais que 22 vértebras na cauda é 94%.
© A média do número de vértebras é 21,49 e a variância é 1,14 vértebras².

Exercícios relacionados