(*) Numa certa população de peixes de água doce da espécie Cottus rotheus a distribuição do número
de vértebras da cauda é dada por:
no. de vértebras | 20 | 21 | 22 | 23 |
---|---|---|---|---|
percentagem de peixes | 3 | 51 | 40 | 6 |
(a) Determine a probabilidade de que um peixe escolhido ao acaso desta população tenha mais do que 21 vértebras na cauda.
(b) Determine a probabilidade de que um peixe escolhido ao acaso desta população tenha não mais do que 22 vértebras na cauda.
© Calcule a média e a variância de .
(b) Determine a probabilidade de que um peixe escolhido ao acaso desta população tenha não mais do que 22 vértebras na cauda.
© Calcule a média e a variância de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata da distribuição do número de vértebras na cauda de peixes da espécie Cottus rotheus. A gente tem uma tabela que mostra quantos por cento da população têm 20, 21, 22 ou 23 vértebras. Vamos precisar entender um pouco de probabilidade e estatística básica para resolver as partes (a), (b) e © desse exercício.
Passo 2
Parte (a): Queremos saber a probabilidade de um peixe escolhido ao acaso ter mais de 21 vértebras na cauda.
Primeiro, vamos identificar quais são os números de vértebras maiores que 21 na tabela. Olhando a tabela:
- 22 vértebras: 40%
- 23 vértebras: 6%
A probabilidade total será a soma dessas porcentagens.
Então, a probabilidade $ P(N > 21) $ é:
Passo 3
Parte (b): Agora, queremos saber a probabilidade de um peixe ter não mais que 22 vértebras na cauda. Isso significa que o peixe pode ter 20, 21 ou 22 vértebras.
Vamos somar as porcentagens correspondentes:
- 20 vértebras: 3%
- 21 vértebras: 51%
- 22 vértebras: 40%
Então, a probabilidade $ P(N \leq 22) $ é:
Passo 4
Parte ©: Agora, precisamos calcular a média e a variância do número de vértebras $ N $.
Para a média ($ \mu $):
A média é calculada multiplicando cada número de vértebras pela sua respectiva probabilidade e somando tudo.
Vamos calcular passo a passo:
Somando tudo:
Então, a média é 21,49 vértebras.
Para a variância ($ \sigma^2 $):
A variância é calculada pela média dos quadrados menos o quadrado da média.
Primeiro, calculamos a média dos quadrados:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Agora, a variância:
Então, a variância é 1,14 vértebras².
Resposta
(a) A probabilidade de um peixe ter mais de 21 vértebras na cauda é 46%.
(b) A probabilidade de um peixe ter não mais que 22 vértebras na cauda é 94%.
© A média do número de vértebras é 21,49 e a variância é 1,14 vértebras².