Um canhão dispara um projétil com velocidade inicial de módulo
e fazendo um ângulo
com a horizontal. Desprezando a resistência do ar, demonstre que a trajetória do projétil é uma parábola.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de movimento de projéteis. A questão nos pede para demonstrar que a trajetória de um projétil, lançado por um canhão com velocidade inicial
e fazendo um ângulo
com a horizontal, é uma parábola, desconsiderando a resistência do ar. Para isso, vamos utilizar conceitos de física de movimento uniformemente acelerado e decomposição de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial
em suas componentes horizontal e vertical. A componente horizontal (
) e a componente vertical (
) são dadas por:
Essa decomposição é essencial para analisar o movimento em cada direção separadamente.
Passo 3
Agora, analisamos o movimento horizontal. Como não há resistência do ar, a aceleração horizontal é zero. Portanto, a posição horizontal (
) em função do tempo (
) é:
Isso nos dá a posição horizontal do projétil em qualquer instante de tempo.
Passo 4
Em seguida, analisamos o movimento vertical. A única aceleração atuando na direção vertical é a aceleração da gravidade (
), que puxa o projétil para baixo. A posição vertical (
) em função do tempo é dada por:
Essa equação descreve a altura do projétil em qualquer instante de tempo.
Passo 5
Para encontrar a trajetória
em função de
, precisamos eliminar o tempo
das duas equações anteriores. A partir da equação horizontal:
Substituindo esse valor de
na equação vertical:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Essa é a equação da trajetória do projétil em função de
.
Passo 7
Observamos que a equação resultante é da forma:
Onde
e
. Essa é a equação geral de uma parábola.
Resposta
Assim, demonstramos que a trajetória do projétil é uma parábola, dada por: