Um canhão dispara um projétil com velocidade inicial de módulo v0 e fazendo um ângulo phi com a horizontal. Desprezando a resistência do ar, demonstre que a trajetória do projétil é uma parábola.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de movimento de projéteis. A questão nos pede para demonstrar que a trajetória de um projétil, lançado por um canhão com velocidade inicial e fazendo um ângulo com a horizontal, é uma parábola, desconsiderando a resistência do ar. Para isso, vamos utilizar conceitos de física de movimento uniformemente acelerado e decomposição de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial v0x = v0 cdot cos(phi) em suas componentes horizontal e vertical. A componente horizontal ( v0y = v0 cdot sin(phi) ) e a componente vertical ( ) são dadas por:
Essa decomposição é essencial para analisar o movimento em cada direção separadamente.

Passo 3

Agora, analisamos o movimento horizontal. Como não há resistência do ar, a aceleração horizontal é zero. Portanto, a posição horizontal ( x(t) = v0x cdot t = v0 cdot cos(phi) cdot t ) em função do tempo ( ) é:
Isso nos dá a posição horizontal do projétil em qualquer instante de tempo.

Passo 4

Em seguida, analisamos o movimento vertical. A única aceleração atuando na direção vertical é a aceleração da gravidade ( y(t) = v0y cdot t - 12 g t^2 = v0 cdot sin(phi) cdot t - 12 g t^2 ), que puxa o projétil para baixo. A posição vertical ( ) em função do tempo é dada por:
Essa equação descreve a altura do projétil em qualquer instante de tempo.

Passo 5

Para encontrar a trajetória t = xv0 cdot cos(phi) em função de y = v0 cdot sin(phi) cdot ( xv0 cdot cos(phi) ) - 12 g ( xv0 cdot cos(phi) )^2 , precisamos eliminar o tempo das duas equações anteriores. A partir da equação horizontal:
Substituindo esse valor de na equação vertical:

Passo 6

Simplificando a expressão:
y = x cdot tan(phi) - g x^22 v0^2 cdot cos^2(phi)
Essa é a equação da trajetória do projétil em função de .

Passo 7

Observamos que a equação resultante é da forma:
y = ax + bx^2
Onde e . Essa é a equação geral de uma parábola.

Resposta

Assim, demonstramos que a trajetória do projétil é uma parábola, dada por:
y = x cdot tan(phi) - g x^22 v0^2 cdot cos^2(phi)

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