A força sobre um objeto de massa
em repouso numa superfície sem atrito tem magnitude
entre os instantes
e
, é nula entre os instantes
e
, e tem valor
entre os instantes
e
. Encontre a velocidade e posição finais do objeto.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um objeto de massa
que está parado numa superfície sem atrito. A força que age sobre ele varia conforme o tempo em três intervalos diferentes:
- De
a segundo, a força é . - De
a segundos, a força é nula. - De
a segundos, a força é .
Nosso objetivo é encontrar a velocidade final e a posição final do objeto após 3 segundos. Vamos usar conceitos de dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton, e cálculo para integrar as forças e encontrar a velocidade e a posição.
Passo 2
Começamos com o primeiro intervalo, de
a
segundo, onde a força é
. Pela segunda lei de Newton, sabemos que
, onde
é a aceleração. Assim, podemos escrever:
Isso significa que a aceleração do objeto está aumentando linearmente com o tempo nesse intervalo.
Passo 3
Agora, para encontrar a velocidade após o primeiro intervalo, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo. Sabemos que a velocidade inicial
é zero (o objeto está em repouso). Então:
Como
, a constante
. Portanto, a velocidade no final de 1 segundo é:
Passo 4
Para encontrar a posição após o primeiro intervalo, integramos a velocidade:
Como
, a constante
. Então, a posição no final de 1 segundo é:
Passo 5
No segundo intervalo, de
a
segundos, a força é nula (
). Isso significa que não há aceleração, ou seja, a velocidade permanece constante. Portanto:
Para a posição, como a velocidade é constante, basta multiplicar pela duração do intervalo:
Passo 6
No terceiro intervalo, de
a
segundos, a força muda para
. A aceleração corresponde a:
Vamos integrar a aceleração para encontrar a velocidade:
Usando a condição
:
Então, a velocidade geral no terceiro intervalo é:
No final de 3 segundos:
Passo 7
Finalmente, vamos calcular a posição no final de 3 segundos. Integramos a velocidade no terceiro intervalo:
Calculando a integral:
Então, a posição final é:
Resposta
A velocidade final do objeto após 3 segundos é
e a posição final é
.
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