A força sobre um objeto de massa m em repouso numa superfície sem atrito tem magnitude F=m b0 t entre os instantes t=0 e t=1 s, é nula entre os instantes t=1 s e t=2 s, e tem valor F=-m b0 t entre os instantes t=2 s e t=3 s. Encontre a velocidade e posição finais do objeto.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um objeto de massa que está parado numa superfície sem atrito. A força que age sobre ele varia conforme o tempo em três intervalos diferentes:
  1. De a segundo, a força é .
  2. De a segundos, a força é nula.
  3. De a segundos, a força é .
Nosso objetivo é encontrar a velocidade final e a posição final do objeto após 3 segundos. Vamos usar conceitos de dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton, e cálculo para integrar as forças e encontrar a velocidade e a posição.

Passo 2

Começamos com o primeiro intervalo, de a = Fm = b0 t a segundo, onde a força é . Pela segunda lei de Newton, sabemos que , onde é a aceleração. Assim, podemos escrever:
Isso significa que a aceleração do objeto está aumentando linearmente com o tempo nesse intervalo.

Passo 3

Agora, para encontrar a velocidade após o primeiro intervalo, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo. Sabemos que a velocidade inicial v(t) = integral a , dt = integral b0 t , dt = b0 t^22 + C é zero (o objeto está em repouso). Então:
v(1) = b0 (1)^22 = b02
Como , a constante . Portanto, a velocidade no final de 1 segundo é:

Passo 4

Para encontrar a posição após o primeiro intervalo, integramos a velocidade:
x(t) = integral v(t) , dt = integral b0 t^22 , dt = b0 t^36 + C
Como x(1) = b0 (1)^36 = b06 , a constante . Então, a posição no final de 1 segundo é:

Passo 5

No segundo intervalo, de v(2) = v(1) = b02 a x(2) = x(1) + v(2) times De segundos, a força é nula ( ). Isso significa que não há aceleração, ou seja, a velocidade permanece constante. Portanto:
Para a posição, como a velocidade é constante, basta multiplicar pela duração do intervalo:

Passo 6

No terceiro intervalo, de a = Fm = -b0 t a v(t) = integral a , dt = integral -b0 t , dt = -b0 t^22 + C segundos, a força muda para b02 = -b0 (2)^22 + C implies b02 = -2b0 + C implies C = 5b02 . A aceleração corresponde a:
v(t) = -b0 t^22 + 5b02
Vamos integrar a aceleração para encontrar a velocidade:
v(3) = -b0 (3)^22 + 5b02 = -9b02 + 5b02 = -2b0
Usando a condição :
Então, a velocidade geral no terceiro intervalo é:
No final de 3 segundos:

Passo 7

Finalmente, vamos calcular a posição no final de 3 segundos. Integramos a velocidade no terceiro intervalo:
x(t) = x(2) + integral2^3 v(tau) , dtau = 2b03 + integral2^3 ( -b0 tau^22 + 5b02 ) dtau
Calculando a integral:
integral2^3 ( -b0 tau^22 + 5b02 ) dtau = -b02 [ tau^33 ]2^3 + 5b02 [ tau ]2^3
= -b06 (27 - 8) + 5b02 (3 - 2)
= -19b06 + 5b02 = -19b06 + 15b06 = -4b06 = -2b03
Então, a posição final é:
x(3) = 2b03 - 2b03 = 0

Resposta

A velocidade final do objeto após 3 segundos é e a posição final é .

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