A força sobre um objeto de massa em repouso numa superfície sem atrito tem magnitude entre os instantes e , é nula entre os instantes e , e tem valor entre os instantes e . Encontre a velocidade e posição finais do objeto.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um objeto de massa que está parado numa superfície sem atrito. A força que age sobre ele varia conforme o tempo em três intervalos diferentes:
  1. De a segundo, a força é .
  2. De a segundos, a força é nula.
  3. De a segundos, a força é .
Nosso objetivo é encontrar a velocidade final e a posição final do objeto após 3 segundos. Vamos usar conceitos de dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton, e cálculo para integrar as forças e encontrar a velocidade e a posição.

Passo 2

Começamos com o primeiro intervalo, de a segundo, onde a força é . Pela segunda lei de Newton, sabemos que , onde é a aceleração. Assim, podemos escrever:
Isso significa que a aceleração do objeto está aumentando linearmente com o tempo nesse intervalo.

Passo 3

Agora, para encontrar a velocidade após o primeiro intervalo, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo. Sabemos que a velocidade inicial é zero (o objeto está em repouso). Então:
Como , a constante . Portanto, a velocidade no final de 1 segundo é:

Passo 4

Para encontrar a posição após o primeiro intervalo, integramos a velocidade:
Como , a constante . Então, a posição no final de 1 segundo é:

Passo 5

No segundo intervalo, de a segundos, a força é nula ( ). Isso significa que não há aceleração, ou seja, a velocidade permanece constante. Portanto:
Para a posição, como a velocidade é constante, basta multiplicar pela duração do intervalo:

Passo 6

No terceiro intervalo, de a segundos, a força muda para . A aceleração corresponde a:
Vamos integrar a aceleração para encontrar a velocidade:
Usando a condição :
Então, a velocidade geral no terceiro intervalo é:
No final de 3 segundos:

Passo 7

Finalmente, vamos calcular a posição no final de 3 segundos. Integramos a velocidade no terceiro intervalo:
Calculando a integral:
Então, a posição final é:

Resposta

A velocidade final do objeto após 3 segundos é e a posição final é .

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