Uma empresa de engenharia civil recebe lotes de concreto de dois fornecedores, A e B. Sabe-se que o fornecedor A fornece 60 % dos lotes e o fornecedor B fornece 40 %. A probabilidade de um lote de concreto atender às especificações de qualidade é de 95 % para o fornecedor A e 85 % para o fornecedor B. Um lote selecionado aleatoriamente é testado e atende às especificações de qualidade. Qual a probabilidade de o lote ter vindo do fornecedor B?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma empresa que compra concreto de dois fornecedores, A e B. O fornecedor A fornece 60% dos lotes e o fornecedor B fornece 40%. A probabilidade de um lote do fornecedor A atender às especificações é de 95%, e do fornecedor B é de 85%. Queremos saber: se pegarmos um lote aleatoriamente e ele atender às especificações, qual a chance desse lote ter vindo do fornecedor B? Para resolver isso, vamos usar um conceito chamado probabilidade condicional, que nos ajuda a encontrar a probabilidade de um evento dado que outro evento já aconteceu.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as probabilidades que temos:
  • Probabilidade de um lote ser do fornecedor A,
  • Probabilidade de um lote ser do fornecedor B,
  • Probabilidade de um lote do fornecedor A atender às especificações,
  • Probabilidade de um lote do fornecedor B atender às especificações,

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de o lote ser do fornecedor B dado que ele atendeu às especificações, que é P(B | Atende) = P(Atende | B) times P(B)P(Atende) . Para isso, vamos usar a Teorema de Bayes:

Passo 4

Antes de aplicar a fórmula, precisamos calcular P(Atende) = P(Atende | A) times P(A) + P(Atende | B) times P(B) , que é a probabilidade de um lote atender às especificações, independentemente do fornecedor. Isso pode ser encontrado somando as probabilidades de atender vindo de A e de B:
P(Atende) = (0,95 times 0,6) + (0,85 times 0,4) = 0,57 + 0,34 = 0,91
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora que temos P(B | Atende) = 0,85 times 0,40,91 = 0,340,91 approx 0,3736 , podemos voltar à fórmula do Teorema de Bayes para encontrar :

Resposta

A probabilidade de o lote ter vindo do fornecedor B, dado que atendeu às especificações, é de aproximadamente 37,36%.

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