Um capacitor de 12 mu F é carregado a um potencial de 50 V e depois descarregado através de um resistor de 225 Omega. Quanto tempo leva para o capacitor perder: (b) metade da energia armazenada?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um capacitor de que foi carregado até 50 V e depois começou a descarregar através de um resistor de . O que queremos descobrir é quanto tempo esse capacitor leva para perder metade da energia que tinha armazenado. Vamos usar conceitos de circuitos RC (Resistor-Capacitor) e a fórmula de energia do capacitor para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a energia armazenada em um capacitor. A fórmula é:
U = 12 C V^2
Onde:
  • é a energia armazenada,
  • é a capacitância do capacitor,
  • é a tensão (ou potencial) no capacitor.

Passo 3

Como o capacitor está descarregando através do resistor, a tensão no capacitor diminui com o tempo. A maneira como essa tensão diminui é descrita pela equação exponencial:
V(t) = V0 e^-tRC
Onde:
  • é a tensão no tempo ,
  • é a tensão inicial,
  • é a resistência,
  • é a capacitância,
  • é o tempo.

Passo 4

Queremos que a energia armazenada caia para metade do valor inicial. Então, vamos definir:
U2 = 12 C V(t)^2
Substituindo a equação da tensão:
12 C V0^2 e^-2tRC = 12 C V0^2 times 12

Passo 5

Agora, simplificamos a equação. Podemos cancelar e^-2tRC = 12 dos dois lados:

Passo 6

Para resolver para -2tRC = ln(12) , tiramos o logaritmo natural de ambos os lados:
2tRC = ln(2)
Lembrando que , então:

Passo 7

Finalmente, isolamos t = RC ln(2)2 :

Passo 8

Agora, vamos substituir os valores que temos:
R = 225,Omega, C = 12,muF = 12 times 10^-6,F
t = 225 times 12 times 10^-6 times ln(2)2

Passo 9

Calculando os valores numéricos:
RC = 225 times 12 times 10^-6 = 0,0027,s
t = 0,0027 times 0,69312 approx 0,000935,s
Ou seja, aproximadamente 0,935 milissegundos.

Resposta

O capacitor leva aproximadamente para perder metade da energia armazenada.

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