Um capacitor de é carregado a um potencial de 50 V e depois descarregado através de um resistor de . Quanto tempo leva para o capacitor perder: (b) metade da energia armazenada?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um capacitor de que foi carregado até 50 V e depois começou a descarregar através de um resistor de . O que queremos descobrir é quanto tempo esse capacitor leva para perder metade da energia que tinha armazenado. Vamos usar conceitos de circuitos RC (Resistor-Capacitor) e a fórmula de energia do capacitor para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a energia armazenada em um capacitor. A fórmula é:
Onde:
  • é a energia armazenada,
  • é a capacitância do capacitor,
  • é a tensão (ou potencial) no capacitor.

Passo 3

Como o capacitor está descarregando através do resistor, a tensão no capacitor diminui com o tempo. A maneira como essa tensão diminui é descrita pela equação exponencial:
Onde:
  • é a tensão no tempo ,
  • é a tensão inicial,
  • é a resistência,
  • é a capacitância,
  • é o tempo.

Passo 4

Queremos que a energia armazenada caia para metade do valor inicial. Então, vamos definir:
Substituindo a equação da tensão:

Passo 5

Agora, simplificamos a equação. Podemos cancelar dos dois lados:

Passo 6

Para resolver para , tiramos o logaritmo natural de ambos os lados:
Lembrando que , então:

Passo 7

Finalmente, isolamos :

Passo 8

Agora, vamos substituir os valores que temos:

Passo 9

Calculando os valores numéricos:
Ou seja, aproximadamente 0,935 milissegundos.

Resposta

O capacitor leva aproximadamente para perder metade da energia armazenada.

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