Um capacitor de
é carregado por uma bateria de
. Ele é então conectado através de uma chave, inicialmente aberta, a um capacitor de
descarregado. A chave é então fechada, permitindo que os capacitores atinjam o equilíbrio eletrostático. Que resistência deve ser conectada em série com os capacitores para que a energia total armazenada nos capacitores seja (i) o dobro da energia e (ii) metade da energia?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois capacitores: um de
carregado com uma bateria de
e outro de
inicialmente descarregado. Quando fechamos a chave, os capacitores se conectam através de uma resistência desconhecida. Precisamos descobrir qual resistência deve ser adicionada para que a energia total armazenada nos capacitores seja (i) o dobro da energia inicial e (ii) metade da energia inicial.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de capacitores em série, conservação de carga, energia armazenada em capacitores e a influência da resistência no processo de carregamento.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a carga inicial no capacitor de
. A carga (
) armazenada em um capacitor é dada por:
Onde:
-
é a capacitância -
é a voltagem
Então,
Passo 3
Quando os dois capacitores são conectados em paralelo através da resistência, a carga se redistribui entre eles até atingir o equilíbrio eletrostático, ou seja, a mesma voltagem em ambos.
A capacitância total em paralelo é:
Passo 4
A voltagem final (
) após a redistribuição de carga será:
Passo 5
Agora, vamos calcular a energia armazenada nos capacitores após a redistribuição de carga. A energia (
) armazenada em um capacitor é dada por:
Para os dois capacitores juntos:
Passo 6
A energia inicial armazenada apenas no capacitor de
era:
Passo 7
Observamos que após a redistribuição, a energia total armazenada nos capacitores diminuiu de
para
. Essa perda de energia ocorre devido ao aquecimento na resistência durante o processo de redistribuição de carga.
Para que a energia total armazenada seja (i) o dobro ou (ii) metade da energia inicial, precisaríamos manipular a energia dissipada pela resistência.
No entanto, aumentando a resistência, a taxa de transferência de carga diminui, o que resulta em uma distribuição de energia diferente. Para dobrar a energia armazenada, seria necessário adicionar energia ao sistema, o que não é possível apenas com a redistribuição de carga. Já para reduzir a energia pela metade, a resistência deve ser ajustada para maximizar a dissipação de energia.
Resposta
Para que a energia total armazenada nos capacitores seja metade da energia inicial (
), é necessário projetar o circuito de forma que a resistência permita uma dissipação adequada de energia durante a redistribuição de carga. No entanto, dobrar a energia armazenada não é possível apenas ajustando a resistência, já que a resistência tende a dissipar energia e não a aumentá-la.