Um capacitor com carga inicial q0 é descarregado através de um resistor. Em termos da constante de tempo tau qual o tempo necessário para que o capacitor perca (a) a primeira terça parte de sua carga e (b) dois terços de sua carga? R: (a) 0,41 ; (b) 1,1 .

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre um capacitor que está descarregando através de um resistor. Estamos lidando com o conteúdo de circuitos elétricos, especificamente com capacitores e resistores em série. Para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula que descreve como a carga no capacitor diminui com o tempo, que envolve a constante de tempo τ.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula que descreve a descarga de um capacitor em um circuito resistor-capacitor (RC). A carga q(t) = q0 , e^-t/tau no capacitor em qualquer instante é dada por:
Aqui, é a carga inicial e é a constante de tempo do circuito, que é igual a , onde é a resistência e a capacitância.

Passo 3

Para a parte (a), queremos saber o tempo necessário para que o capacitor perca a primeira terça parte de sua carga. Isso significa que queremos encontrar 23 q0 = q0 , e^-t/tau tal que a carga restante seja .
Então, substituímos na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa equação. Podemos dividir os dois lados por 23 = e^-t/tau :

Passo 5

Para resolver para ln(23) = -ttau , vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:

Passo 6

Isolando t = -tau , ln(23) , temos:

Passo 7

Calculando o valor numérico:
t approx -tau times (-0,4055)
t approx 0,41 , tau

Passo 8

Para a parte (b), queremos saber o tempo para que o capacitor perca dois terços de sua carga, ou seja, que reste 13 q0 = q0 , e^-t/tau .
Usamos a mesma fórmula:

Passo 9

Dividindo por 13 = e^-t/tau :

Passo 10

Tirando o logaritmo natural:
ln(13) = -ttau

Passo 11

Isolando t = -tau , ln(13) :

Passo 12

Calculando o valor numérico:
t approx -tau times (-1,0986)
t approx 1,1 , tau

Resposta

(a) O tempo necessário para perder a primeira terça parte da carga é aproximadamente .
(b) O tempo necessário para perder dois terços da carga é aproximadamente .

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