Um capacitor de é carregado por uma bateria que fornece 40 V. Em seguida, o capacitor é descarregado através de um indutor de indutância igual a 10 mH e resistência desprezível.
(a) Obtenha a equação diferencial para , onde é a carga do capacitor e é o tempo.
(b) Obtenha uma expressão para a carga .
© Obtenha uma expressão para a corrente no circuito e faça um gráfico representando o comportamento da corrente em função do tempo .
(d) Determine a frequência, o período de oscilação e a amplitude da corrente.
(e) Obtenha uma expressão para a tensão no capacitor e represente-a graficamente.
(f) No mesmo gráfico, represente também o comportamento da tensão no indutor .
(g) Qual a diferença de fase entre as tensões no capacitor e no indutor?
(h) Determine as expressões para as energias armazenada no capacitor e no indutor. Represente-as graficamente.
(i) Mostre que a energia total se conserva e determine o seu valor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um capacitor de carregado por uma bateria de 40 V que depois é descarregado através de um indutor de com resistência desprezível. O conteúdo envolve circuitos RLC (mesmo que R seja zero aqui) e as equações que descrevem como a carga e a corrente variam no tempo. Para resolver, vamos precisar usar equações diferenciais que descrevem o comportamento de capacitores e indutores em circuitos elétricos.

Passo 2

Parte (a): Obter a equação diferencial para VC + VL = 0 Rightarrow qC + L dIdt = 0 .
Primeiro, precisamos lembrar que em um circuito onde um capacitor se descarrega através de um indutor, a relação entre a tensão no capacitor e a indutância é dada pela Lei de Kirchhoff das Tensões. A tensão no capacitor é I = dqdt e a tensão no indutor é qC + L d^2 qdt^2 = 0 . Como não há resistência, a soma dessas tensões é zero:
L d^2 qdt^2 + qC = 0
Sabemos que a corrente é a taxa de variação da carga:
Substituindo na equação:
Organizando:
Essa é a equação diferencial que descreve a carga no capacitor ao longo do tempo.

Passo 3

Parte (b): Obter uma expressão para a carga L d^2 qdt^2 + qC = 0 .
A equação diferencial obtida é:
d^2 qdt^2 + 1LC q = 0
Podemos reescrever isso como:
q(t) = Q cos(omega t) + Q' sin(omega t)
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem muito conhecida, cuja solução geral é uma combinação de funções seno e cosseno. Assim, a carga no capacitor ao longo do tempo é:
q(t) = Q cos(omega t) = 4 times 10^-5 cos(1raizLC t)
Onde:
  • é a frequência angular.
  • e são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Como o capacitor está inicialmente carregado com e a corrente inicial é zero, a solução simplifica para:

Passo 4

Parte ©: Obter uma expressão para a corrente I(t) = dqdt = -Q omega sin(omega t) no circuito e fazer um gráfico representando o comportamento da corrente I(t) = -4 times 10^-5 times 1raizLC sin(1raizLC t) em função do tempo .
A corrente é a derivada da carga em relação ao tempo:
Substituindo os valores:
Esse é um gráfico senoidal que oscila no tempo, representando a corrente alternando de direção no circuito.

Passo 5

Parte (d): Determinar a frequência, o período de oscilação e a amplitude da corrente.
A frequência angular omega = 1raizLC = 1raiz0.01 times 1 times 10^-6 = 1raiz1 times 10^-8 = 10^4 , rad/s é dada por:
f = omega2pi = 10^42pi approx 1591.55 , Hz
A frequência T = 1f approx 11591.55 approx 6.28 times 10^-4 s em hertz é:
Iamp = Q omega = 4 times 10^-5 times 10^4 = 0.4 , A
O período é o inverso da frequência:
A amplitude da corrente é o coeficiente de :

Passo 6

Parte (e): Obter uma expressão para a tensão no capacitor VC(t) = q(t)C = 4 times 10^-5 cos(omega t)1 times 10^-6 = 40 cos(omega t) , V e representá-la graficamente.
A tensão no capacitor é:
Esse é um gráfico cossenoidal com amplitude de 40 V, oscilando no tempo.

Passo 7

Parte (f): No mesmo gráfico, representar também o comportamento da tensão no indutor VL(t) = L dIdt .
A tensão no indutor é dada por:
VL(t) = L times (-0.4 omega cos(omega t)) = -0.4 omega L cos(omega t)
Substituindo VL(t) = -0.4 times 10^4 times 0.01 cos(omega t) = -40 cos(omega t) , V :
Com e :
Então, . Ao plotarmos ambos no mesmo gráfico, veremos que eles são opostos no sentido.

Passo 8

Parte (g): Qual a diferença de fase entre as tensões no capacitor e no indutor?
Observando as expressões:
VC(t) = 40 cos(omega t) VL(t) = -40 cos(omega t) = 40 cos(omega t + pi)
A diferença de fase entre e é radianos, ou 180 graus. Isso significa que elas estão completamente fora de fase, uma está no positivo quando a outra está no negativo.

Passo 9

Parte (h): Determinar as expressões para as energias UC(t) = 12 C VC^2(t) = 12 times 1 times 10^-6 times [40 cos(omega t)]^2 = 8 times 10^-3 cos^2(omega t) , J armazenada no capacitor e UL(t) = 12 L I^2(t) = 12 times 0.01 times [0.4 sin(omega t)]^2 = 8 times 10^-3 sin^2(omega t) , J no indutor. Representá-las graficamente.
A energia no capacitor é:
A energia no indutor é:
Graficamente, e são funções quadráticas senoidais que estão deslocadas no tempo, de modo que a energia total permanece constante.

Passo 10

Parte (i): Mostrar que a energia total se conserva e determinar o seu valor.
A energia total Utotal(t) = UC(t) + UL(t) = 8 times 10^-3 cos^2(omega t) + 8 times 10^-3 sin^2(omega t) = 8 times 10^-3 (cos^2(omega t) + sin^2(omega t)) = 8 times 10^-3 times 1 = 8 times 10^-3 J é a soma de e :
Portanto, a energia total no circuito é constante e igual a Joules, mostrando que a energia se conserva durante as oscilações.

Resposta

Concluímos que a energia total no circuito é conservação e permanece constante em Joules.

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