Um capacitor de
é carregado por uma bateria que fornece 40 V. Em seguida, o capacitor é descarregado através de um indutor de indutância igual a 10 mH e resistência desprezível.
(a) Obtenha a equação diferencial para
, onde
é a carga do capacitor e
é o tempo.
(b) Obtenha uma expressão para a carga
.
© Obtenha uma expressão para a corrente
no circuito e faça um gráfico representando o comportamento da corrente
em função do tempo
.
(d) Determine a frequência, o período de oscilação e a amplitude da corrente.
(e) Obtenha uma expressão para a tensão no capacitor
e represente-a graficamente.
(f) No mesmo gráfico, represente também o comportamento da tensão no indutor
.
(g) Qual a diferença de fase entre as tensões no capacitor e no indutor?
(h) Determine as expressões para as energias
armazenada no capacitor e
no indutor. Represente-as graficamente.
(i) Mostre que a energia total se conserva e determine o seu valor.
(a) Obtenha a equação diferencial para
(b) Obtenha uma expressão para a carga
© Obtenha uma expressão para a corrente
(d) Determine a frequência, o período de oscilação e a amplitude da corrente.
(e) Obtenha uma expressão para a tensão no capacitor
(f) No mesmo gráfico, represente também o comportamento da tensão no indutor
(g) Qual a diferença de fase entre as tensões no capacitor e no indutor?
(h) Determine as expressões para as energias
(i) Mostre que a energia total se conserva e determine o seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um capacitor de
carregado por uma bateria de 40 V que depois é descarregado através de um indutor de
com resistência desprezível. O conteúdo envolve circuitos RLC (mesmo que R seja zero aqui) e as equações que descrevem como a carga e a corrente variam no tempo. Para resolver, vamos precisar usar equações diferenciais que descrevem o comportamento de capacitores e indutores em circuitos elétricos.
Passo 2
Parte (a): Obter a equação diferencial para
.
Primeiro, precisamos lembrar que em um circuito onde um capacitor se descarrega através de um indutor, a relação entre a tensão no capacitor e a indutância é dada pela Lei de Kirchhoff das Tensões. A tensão no capacitor é
e a tensão no indutor é
. Como não há resistência, a soma dessas tensões é zero:
Sabemos que a corrente
é a taxa de variação da carga:
Substituindo
na equação:
Organizando:
Essa é a equação diferencial que descreve a carga no capacitor ao longo do tempo.
Passo 3
Parte (b): Obter uma expressão para a carga
.
A equação diferencial obtida é:
Podemos reescrever isso como:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem muito conhecida, cuja solução geral é uma combinação de funções seno e cosseno. Assim, a carga no capacitor ao longo do tempo é:
Onde:
-
é a frequência angular. -
e são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Como o capacitor está inicialmente carregado com
e a corrente inicial é zero, a solução simplifica para:
Passo 4
Parte ©: Obter uma expressão para a corrente
no circuito e fazer um gráfico representando o comportamento da corrente
em função do tempo
.
A corrente
é a derivada da carga em relação ao tempo:
Substituindo os valores:
Esse é um gráfico senoidal que oscila no tempo, representando a corrente alternando de direção no circuito.
Passo 5
Parte (d): Determinar a frequência, o período de oscilação e a amplitude da corrente.
A frequência angular
é dada por:
A frequência
em hertz é:
O período
é o inverso da frequência:
A amplitude da corrente é o coeficiente de
:
Passo 6
Parte (e): Obter uma expressão para a tensão no capacitor
e representá-la graficamente.
A tensão no capacitor é:
Esse é um gráfico cossenoidal com amplitude de 40 V, oscilando no tempo.
Passo 7
Parte (f): No mesmo gráfico, representar também o comportamento da tensão no indutor
.
A tensão no indutor é dada por:
Substituindo
:
Com
e
:
Então,
. Ao plotarmos ambos no mesmo gráfico, veremos que eles são opostos no sentido.
Passo 8
Parte (g): Qual a diferença de fase entre as tensões no capacitor e no indutor?
Observando as expressões:
A diferença de fase entre
e
é
radianos, ou 180 graus. Isso significa que elas estão completamente fora de fase, uma está no positivo quando a outra está no negativo.
Passo 9
Parte (h): Determinar as expressões para as energias
armazenada no capacitor e
no indutor. Representá-las graficamente.
A energia no capacitor é:
A energia no indutor é:
Graficamente,
e
são funções quadráticas senoidais que estão deslocadas no tempo, de modo que a energia total permanece constante.
Passo 10
Parte (i): Mostrar que a energia total se conserva e determinar o seu valor.
A energia total
é a soma de
e
:
Portanto, a energia total no circuito é constante e igual a
Joules, mostrando que a energia se conserva durante as oscilações.
Resposta
Concluímos que a energia total no circuito é conservação e permanece constante em
Joules.
Exercícios relacionados
Um capacitor de
é carregado por uma bateria que fornece 40 V. Em seguida, o capacitor é descarregado através de um indutor de indutância igual a 10 mH e resistência desprezível. Obtenha uma expressão para a carga
.
Analise afirmativas a seguir e assinale (V) ou (F):
Uma onda na superfície da água é onda mecânica.
As ondas sonoras são eletromagnéticas.
Ondas eletromagnéticas podem se propagar no vácuo.
O som é uma onda mecânica e a luz é uma onda eletromagnética.
Ondas eletromagnéticas podem se propagar no vácuo.
O som é uma onda mecânica e a luz é uma onda eletromagnética.
Três capacitores de placas paralelas são conectados separadamente a baterias idênticas. O capacitor 1 tem uma área de placa
e uma separação
. O capacitor 2 possui uma área de placa
e uma separação entre as placas d. O capacitor 3 possui uma área de placa
e uma separação
. Classifique os três capacitores, em ordem decrescente, com base em sua:
b) Carga armazenada
b) Carga armazenada