Um capacitor de é carregado por uma bateria que fornece 40 V. Em seguida, o capacitor é descarregado através de um indutor de indutância igual a 10 mH e resistência desprezível.
(a) Obtenha a equação diferencial para , onde é a carga do capacitor e é o tempo.
(b) Obtenha uma expressão para a carga .
© Obtenha uma expressão para a corrente no circuito e faça um gráfico representando o comportamento da corrente em função do tempo .
(d) Determine a frequência, o período de oscilação e a amplitude da corrente.
(e) Obtenha uma expressão para a tensão no capacitor e represente-a graficamente.
(f) No mesmo gráfico, represente também o comportamento da tensão no indutor .
(g) Qual a diferença de fase entre as tensões no capacitor e no indutor?
(h) Determine as expressões para as energias armazenada no capacitor e no indutor. Represente-as graficamente.
(i) Mostre que a energia total se conserva e determine o seu valor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um capacitor de carregado por uma bateria de 40 V que depois é descarregado através de um indutor de com resistência desprezível. O conteúdo envolve circuitos RLC (mesmo que R seja zero aqui) e as equações que descrevem como a carga e a corrente variam no tempo. Para resolver, vamos precisar usar equações diferenciais que descrevem o comportamento de capacitores e indutores em circuitos elétricos.

Passo 2

Parte (a): Obter a equação diferencial para .
Primeiro, precisamos lembrar que em um circuito onde um capacitor se descarrega através de um indutor, a relação entre a tensão no capacitor e a indutância é dada pela Lei de Kirchhoff das Tensões. A tensão no capacitor é e a tensão no indutor é . Como não há resistência, a soma dessas tensões é zero:
Sabemos que a corrente é a taxa de variação da carga:
Substituindo na equação:
Organizando:
Essa é a equação diferencial que descreve a carga no capacitor ao longo do tempo.

Passo 3

Parte (b): Obter uma expressão para a carga .
A equação diferencial obtida é:
Podemos reescrever isso como:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem muito conhecida, cuja solução geral é uma combinação de funções seno e cosseno. Assim, a carga no capacitor ao longo do tempo é:
Onde:
  • é a frequência angular.
  • e são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Como o capacitor está inicialmente carregado com e a corrente inicial é zero, a solução simplifica para:

Passo 4

Parte ©: Obter uma expressão para a corrente no circuito e fazer um gráfico representando o comportamento da corrente em função do tempo .
A corrente é a derivada da carga em relação ao tempo:
Substituindo os valores:
Esse é um gráfico senoidal que oscila no tempo, representando a corrente alternando de direção no circuito.

Passo 5

Parte (d): Determinar a frequência, o período de oscilação e a amplitude da corrente.
A frequência angular é dada por:
A frequência em hertz é:
O período é o inverso da frequência:
A amplitude da corrente é o coeficiente de :

Passo 6

Parte (e): Obter uma expressão para a tensão no capacitor e representá-la graficamente.
A tensão no capacitor é:
Esse é um gráfico cossenoidal com amplitude de 40 V, oscilando no tempo.

Passo 7

Parte (f): No mesmo gráfico, representar também o comportamento da tensão no indutor .
A tensão no indutor é dada por:
Substituindo :
Com e :
Então, . Ao plotarmos ambos no mesmo gráfico, veremos que eles são opostos no sentido.

Passo 8

Parte (g): Qual a diferença de fase entre as tensões no capacitor e no indutor?
Observando as expressões:
A diferença de fase entre e é radianos, ou 180 graus. Isso significa que elas estão completamente fora de fase, uma está no positivo quando a outra está no negativo.

Passo 9

Parte (h): Determinar as expressões para as energias armazenada no capacitor e no indutor. Representá-las graficamente.
A energia no capacitor é:
A energia no indutor é:
Graficamente, e são funções quadráticas senoidais que estão deslocadas no tempo, de modo que a energia total permanece constante.

Passo 10

Parte (i): Mostrar que a energia total se conserva e determinar o seu valor.
A energia total é a soma de e :
Portanto, a energia total no circuito é constante e igual a Joules, mostrando que a energia se conserva durante as oscilações.

Resposta

Concluímos que a energia total no circuito é conservação e permanece constante em Joules.

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