Um capacitor de é carregado por uma bateria que fornece 40 V. Em seguida, o capacitor é descarregado através de um indutor de indutância igual a 10 mH e resistência desprezível. Obtenha uma expressão para a carga .

Passo 1

Então, temos um capacitor de que foi carregado com uma bateria de 40 V. Depois disso, ele é descarregado através de um indutor com indutância de 10 mH, e a resistência é desprezível. Vamos trabalhar com circuitos de corrente alternada, especificamente com circuitos LC (indutor e capacitor). Para resolver isso, vamos precisar usar a equação diferencial que descreve o comportamento da carga nesse tipo de circuito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um circuito LC sem resistência, a troca de energia entre o capacitor e o indutor gera oscilações. A relação entre a indutância L d^2q(t)dt^2 + q(t)C = 0 e a capacitância determina a frequência dessas oscilações. A equação diferencial que descreve a carga no capacitor é:

Passo 3

Vamos substituir os valores conhecidos na equação. Temos 10 times 10^-3 d^2q(t)dt^2 + q(t)1 times 10^-6 = 0 e . Substituindo:

Passo 4

Para simplificar, dividimos toda a equação por d^2q(t)dt^2 + 1(10 times 10^-3)(1 times 10^-6) q(t) = 0 :
1(10 times 10^-3)(1 times 10^-6) = 110^-8 = 10^8
Calculando o termo constante:
d^2q(t)dt^2 + 10^8 q(t) = 0
Então, a equação fica:

Passo 5

Essa é uma equação diferencial linear homogênea com soluções harmônicas. A solução geral para essa equação é:
q(t) = Q cos(omega t) + P sin(omega t)
Onde omega = raiz1LC é a frequência angular, dada por:

Passo 6

Calculando omega = raiz1(10 times 10^-3)(1 times 10^-6) = raiz110^-8 = raiz10^8 = 10^4 rad/s :
q(t) = Q cos(10^4 t) + P sin(10^4 t)
Então, a solução fica:

Passo 7

Agora, usamos as condições iniciais para determinar q(0) = Q cos(0) + P sin(0) = Q = C V = (1 times 10^-6)(40) = 40 times 10^-6 C e i(t) = dq(t)dt = -Q omega sin(omega t) + P omega cos(omega t) . No instante i(0) = -Q omega cdot 0 + P omega cdot 1 = P omega = 0 Rightarrow P = 0 , toda a carga está no capacitor, então:
Além disso, a corrente inicial é zero, pois o capacitor começa a descarregar. A corrente é a derivada da carga:
No instante :

Resposta

Portanto, a expressão para a carga q(t) = 40 times 10^-6 cos(10^4 t) C é:

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