Um capacitor de
é carregado por uma bateria que fornece 40 V. Em seguida, o capacitor é descarregado através de um indutor de indutância igual a 10 mH e resistência desprezível. Obtenha uma expressão para a carga
.
Passo 1
Então, temos um capacitor de
que foi carregado com uma bateria de 40 V. Depois disso, ele é descarregado através de um indutor com indutância de 10 mH, e a resistência é desprezível. Vamos trabalhar com circuitos de corrente alternada, especificamente com circuitos LC (indutor e capacitor). Para resolver isso, vamos precisar usar a equação diferencial que descreve o comportamento da carga
nesse tipo de circuito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um circuito LC sem resistência, a troca de energia entre o capacitor e o indutor gera oscilações. A relação entre a indutância
e a capacitância
determina a frequência dessas oscilações. A equação diferencial que descreve a carga
no capacitor é:
Passo 3
Vamos substituir os valores conhecidos na equação. Temos
e
. Substituindo:
Passo 4
Para simplificar, dividimos toda a equação por
:
Calculando o termo constante:
Então, a equação fica:
Passo 5
Essa é uma equação diferencial linear homogênea com soluções harmônicas. A solução geral para essa equação é:
Onde
é a frequência angular, dada por:
Passo 6
Calculando
:
Então, a solução fica:
Passo 7
Agora, usamos as condições iniciais para determinar
e
. No instante
, toda a carga está no capacitor, então:
Além disso, a corrente inicial é zero, pois o capacitor começa a descarregar. A corrente é a derivada da carga:
No instante
:
Resposta
Portanto, a expressão para a carga
é: