Um capacitor esférico é formado por dois condutores esféricos concêntricos separados pelo vácuo. A superfície esférica interna possui raio de 15,0 cm e a capacitância é igual a 116 pF .
(a) Qual é o raio da superfície esférica externa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um capacitor esférico com duas esferas concêntricas. A esfera interna tem raio de 15,0 cm e a capacitância é de 116 pF. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o raio da esfera externa. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da capacitância de um capacitor esférico, que envolve conceitos de eletrostática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da capacitância para um capacitor esférico. A capacitância C = 4pivarepsilon0 cdot r1 r2r2 - r1 é dada por:
Aqui, é a permissividade do vácuo ( ), é o raio da esfera interna e é o raio da esfera externa.

Passo 3

Sabemos que:
  • 116 times 10^-12 = 4pi times 8,85 times 10^-12 cdot 0,15 times r2r2 - 0,15
Vamos substituir esses valores na fórmula da capacitância:

Passo 4

Vamos simplificar a equação. Primeiro, calculemos o produto 4pi times 8,85 times 10^-12 approx 1,112 times 10^-10 , F/m :
116 times 10^-12 = 1,112 times 10^-10 cdot 0,15 times r2r2 - 0,15
Então, nossa equação fica:

Passo 5

Vamos isolar a fração que contém 0,15 times r2r2 - 0,15 = 116 times 10^-121,112 times 10^-10 approx 1,043 :
0,15 times r2 = 1,043 times (r2 - 0,15)
Então:

Passo 6

Distribuindo o 1,043 na equação:
0,15 times r2 = 1,043 times r2 - 1,043 times 0,15
0,15 times r2 = 1,043 times r2 - 0,15645

Passo 7

Vamos trazer todos os termos com 0,15 times r2 - 1,043 times r2 = -0,15645 para um lado da equação:
-0,893 times r2 = -0,15645

Passo 8

Agora, isolamos r2 = -0,15645-0,893 approx 0,175 , m :
0,175 , m = 17,5 , cm
Convertendo para centímetros:

Resposta

O raio da superfície esférica externa é de aproximadamente 17,5 cm.

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