Um capacitor inicialmente descarregado é carregado totalmente por uma fonte de força eletromotriz constante
ligada em série com um resistor
.
Integrando o produto
no intervalo de tempo do carregamento, mostre que a energia térmica dissipada pelo resistor também é igual à metade da energia fornecida pela fonte.
Integrando o produto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um capacitor que começa descarregado e é carregado totalmente por uma fonte de força eletromotriz constante,
, ligada em série com um resistor
. A gente precisa calcular a energia térmica dissipada pelo resistor durante esse processo e mostrar que ela é metade da energia que a fonte fornece. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de circuitos elétricos, como a corrente em um circuito RC e a energia elétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a corrente varia no tempo quando carregamos um capacitor através de um resistor. A equação que descreve a corrente
em um circuito RC é:
Aqui,
é a constante de tempo do circuito. Essa equação nos mostra que a corrente diminui exponencialmente com o tempo.
Passo 3
Agora, queremos calcular a energia térmica dissipada pelo resistor. A energia dissipada em forma de calor em um resistor é dada pela integral da potência dissipada ao longo do tempo. A potência dissipada pelo resistor é
. Então, a energia térmica
é:
Passo 4
Substituindo a expressão da corrente
na integral, temos:
Simplificando os termos dentro da integral:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral:
Passo 6
Substituindo o resultado da integral na expressão da energia térmica:
Passo 7
Agora, vamos calcular a energia fornecida pela fonte. A energia fornecida pela fonte é a integral da potência fornecida por ela ao longo do tempo. A potência fornecida pela fonte é
. Então, a energia
é:
Passo 8
Resolvendo a integral:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão da energia fornecida:
Passo 10
Finalmente, comparando a energia térmica dissipada pelo resistor com a energia fornecida pela fonte:
Resposta
A energia térmica dissipada pelo resistor é metade da energia fornecida pela fonte, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Um bloco de 2 Kg está preso a uma mola horizontal. A constante de força é
. O bloco é afastado 5 cm da sua posição de equilíbrio e liberado em
.
a) Determine a frequência angular , a frequência
e o período
.
b) Escreva em função do tempo
.
Resps: a)
a) Determine a frequência angular
b) Escreva
Resps: a)
Um iceberg cúbico flutua em água salgada, e apresenta
acima do nível do mar. As densidades do gelo, água salgada e água doce são respectivamente
,
e
. Determine:
a) a profundidade submergida pelo iceberg no mar. (Resp.: 5,63 m)
b) a profundidade submergida se o iceberg estiver em água doce. (Resp.: 7,31 m)
a) a profundidade
b) a profundidade submergida se o iceberg estiver em água doce. (Resp.: 7,31 m)
Seja um corpo em uma mola, com uma posição dada por
.
(a) Qual é a velocidade máxima do corpo?(b) Quando, após , esta velocidade máxima ocorre pela
vez? © Qual é a aceleração máxima do corpo? (d) Quando, após
, ocorre a aceleração de magnitude máxima pela
vez?
Resps: a) ; b)
; c)
; d)
(a) Qual é a velocidade máxima do corpo?(b) Quando, após
Resps: a)
No circuito que aparece ao lado, o capacitor está inicialmente descarregado com a chave aberta. Em
a chave é fechada.
qual a corrente fornecida pela fem imediatamente após a chave ser fechada?
qual a corrente fornecida pela fem imediatamente após a chave ser fechada?