Um capacitor inicialmente descarregado é carregado totalmente por uma fonte de força eletromotriz constante varepsilon ligada em série com um resistor R.
Integrando o produto Ri^2 no intervalo de tempo do carregamento, mostre que a energia térmica dissipada pelo resistor também é igual à metade da energia fornecida pela fonte.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um capacitor que começa descarregado e é carregado totalmente por uma fonte de força eletromotriz constante, varepsilon, ligada em série com um resistor R. A gente precisa calcular a energia térmica dissipada pelo resistor durante esse processo e mostrar que ela é metade da energia que a fonte fornece. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de circuitos elétricos, como a corrente em um circuito RC e a energia elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a corrente varia no tempo quando carregamos um capacitor através de um resistor. A equação que descreve a corrente i(t) em um circuito RC é:
i(t) = varepsilonR e^-tRC
Aqui, RC é a constante de tempo do circuito. Essa equação nos mostra que a corrente diminui exponencialmente com o tempo.

Passo 3

Agora, queremos calcular a energia térmica dissipada pelo resistor. A energia dissipada em forma de calor em um resistor é dada pela integral da potência dissipada ao longo do tempo. A potência dissipada pelo resistor é P(t) = R i(t)^2. Então, a energia térmica ET é:
ET = integral0^infty R i(t)^2 , dt

Passo 4

Substituindo a expressão da corrente i(t) na integral, temos:
ET = integral0^infty R ( varepsilonR e^-tRC )^2 , dt
Simplificando os termos dentro da integral:
ET = integral0^infty R ( varepsilon^2R^2 e^-2tRC ) , dt = varepsilon^2R integral0^infty e^-2tRC , dt

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral:
integral0^infty e^-2tRC , dt = [ -RC2 e^-2tRC ]0^infty = 0 - ( -RC2 ) = RC2

Passo 6

Substituindo o resultado da integral na expressão da energia térmica:
ET = varepsilon^2R cdot RC2 = varepsilon^2 C2

Passo 7

Agora, vamos calcular a energia fornecida pela fonte. A energia fornecida pela fonte é a integral da potência fornecida por ela ao longo do tempo. A potência fornecida pela fonte é Pf(t) = varepsilon i(t). Então, a energia Ef é:
Ef = integral0^infty varepsilon i(t) , dt = varepsilon integral0^infty varepsilonR e^-tRC , dt = varepsilon^2R integral0^infty e^-tRC , dt

Passo 8

Resolvendo a integral:
integral0^infty e^-tRC , dt = [ -RC e^-tRC ]0^infty = 0 - (-RC) = RC

Passo 9

Substituindo de volta na expressão da energia fornecida:
Ef = varepsilon^2R cdot RC = varepsilon^2 C

Passo 10

Finalmente, comparando a energia térmica dissipada pelo resistor com a energia fornecida pela fonte:
ET = varepsilon^2 C2 = Ef2

Resposta

A energia térmica dissipada pelo resistor é metade da energia fornecida pela fonte, ou seja, ET = Ef2.

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