Um capacitor inicialmente descarregado é carregado totalmente por uma fonte de força eletromotriz constante
ligada em série com um resistor
.
Integrando o produto
no intervalo de tempo do carregamento, mostre que a energia térmica dissipada pelo resistor também é igual à metade da energia fornecida pela fonte.
Integrando o produto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um capacitor que começa descarregado e é carregado totalmente por uma fonte de força eletromotriz constante,
, ligada em série com um resistor
. A gente precisa calcular a energia térmica dissipada pelo resistor durante esse processo e mostrar que ela é metade da energia que a fonte fornece. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de circuitos elétricos, como a corrente em um circuito RC e a energia elétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a corrente varia no tempo quando carregamos um capacitor através de um resistor. A equação que descreve a corrente
em um circuito RC é:
Aqui,
é a constante de tempo do circuito. Essa equação nos mostra que a corrente diminui exponencialmente com o tempo.
Passo 3
Agora, queremos calcular a energia térmica dissipada pelo resistor. A energia dissipada em forma de calor em um resistor é dada pela integral da potência dissipada ao longo do tempo. A potência dissipada pelo resistor é
. Então, a energia térmica
é:
Passo 4
Substituindo a expressão da corrente
na integral, temos:
Simplificando os termos dentro da integral:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral:
Passo 6
Substituindo o resultado da integral na expressão da energia térmica:
Passo 7
Agora, vamos calcular a energia fornecida pela fonte. A energia fornecida pela fonte é a integral da potência fornecida por ela ao longo do tempo. A potência fornecida pela fonte é
. Então, a energia
é:
Passo 8
Resolvendo a integral:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão da energia fornecida:
Passo 10
Finalmente, comparando a energia térmica dissipada pelo resistor com a energia fornecida pela fonte:
Resposta
A energia térmica dissipada pelo resistor é metade da energia fornecida pela fonte, ou seja,
.