Um capacitor inicialmente descarregado é carregado totalmente por uma fonte de força eletromotriz constante ligada em série com um resistor .
Integrando o produto no intervalo de tempo do carregamento, mostre que a energia térmica dissipada pelo resistor também é igual à metade da energia fornecida pela fonte.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um capacitor que começa descarregado e é carregado totalmente por uma fonte de força eletromotriz constante, , ligada em série com um resistor . A gente precisa calcular a energia térmica dissipada pelo resistor durante esse processo e mostrar que ela é metade da energia que a fonte fornece. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de circuitos elétricos, como a corrente em um circuito RC e a energia elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a corrente varia no tempo quando carregamos um capacitor através de um resistor. A equação que descreve a corrente em um circuito RC é:
Aqui, é a constante de tempo do circuito. Essa equação nos mostra que a corrente diminui exponencialmente com o tempo.

Passo 3

Agora, queremos calcular a energia térmica dissipada pelo resistor. A energia dissipada em forma de calor em um resistor é dada pela integral da potência dissipada ao longo do tempo. A potência dissipada pelo resistor é . Então, a energia térmica é:

Passo 4

Substituindo a expressão da corrente na integral, temos:
Simplificando os termos dentro da integral:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral:

Passo 6

Substituindo o resultado da integral na expressão da energia térmica:

Passo 7

Agora, vamos calcular a energia fornecida pela fonte. A energia fornecida pela fonte é a integral da potência fornecida por ela ao longo do tempo. A potência fornecida pela fonte é . Então, a energia é:

Passo 8

Resolvendo a integral:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão da energia fornecida:

Passo 10

Finalmente, comparando a energia térmica dissipada pelo resistor com a energia fornecida pela fonte:

Resposta

A energia térmica dissipada pelo resistor é metade da energia fornecida pela fonte, ou seja, .

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(a) Qual é a velocidade máxima do corpo?(b) Quando, após , esta velocidade máxima ocorre pela vez? © Qual é a aceleração máxima do corpo? (d) Quando, após , ocorre a aceleração de magnitude máxima pela vez?
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