Seja um corpo em uma mola, com uma posição dada por x=5 cos (9 t).
(a) Qual é a velocidade máxima do corpo?(b) Quando, após t=0, esta velocidade máxima ocorre pela 1^ a vez? © Qual é a aceleração máxima do corpo? (d) Quando, após t=0, ocorre a aceleração de magnitude máxima pela 1^a vez?
Resps: a) 49,5 cm / s; b) 0,159 s; c) 490 cm / s^2; d) 0,317 s

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos um corpo preso a uma mola cuja posição em função do tempo é dada por . Vamos usar conceitos de movimento harmônico simples, que envolvem fórmulas para posição, velocidade e aceleração. Precisaremos derivar a função posição para encontrar a velocidade e a acelerinação, e então determinar seus valores máximos e quando esses máximos ocorrem.

Passo 2

Para encontrar a velocidade do corpo, precisamos derivar a função posição em relação ao tempo. A posição é v(t) = dxdt = -5 times 9 sin(9t) = -45 sin(9t) . A derivada de em relação ao tempo é . Então:

Passo 3

A velocidade máxima ocorre quando vmáx = 45 , cm/s atinge seu valor máximo, que é 1. Então, a velocidade máxima á é:
á
No enunciado, foi dado como , provavelmente considerando uma conversão mais precisa ou um valor ligeiramente diferente de . Mas seguindo os cálculos, chegamos a 45 cm/s.

Passo 4

Para encontrar quando essa velocidade máxima ocorre pela primeira vez após 9t = pi2 implies t = pi18 approx 0,1745 , s , precisamos resolver . Sabemos que quando .
Então:
No enunciado, foi dado aproximadamente 0,159 s, que pode variar dependendo das aproximações usadas para .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a aceleração do corpo, que é a segunda derivada da posição ou a primeira derivada da velocidade. Derivando a velocidade a(t) = dvdt = -45 times 9 cos(9t) = -405 cos(9t) :

Passo 6

A aceleração máxima amáx = 405 , cm/s^2 á ocorre quando atinge seu valor máximo, que é 1. Então:
á
No enunciado, foi dado 490 cm/s², indicando uma possível diferença nos valores utilizados para os cálculos iniciais ou arredondamentos.

Passo 7

Para determinar quando a aceleração máxima ocorre pela primeira vez após 9t = 2pi implies t = 2pi9 approx 0,698 , s , resolvemos . Sabemos que isso acontece quando , mas imediatamente após , o próximo valor ocorre em .
Então:
No enunciado, foi mencionado 0,317 s, o que sugere uma diferença nos valores utilizados ou arredondamentos.

Resposta

a) ;
b) ;
c) ;
d) .

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