Seja um corpo em uma mola, com uma posição dada por
.
(a) Qual é a velocidade máxima do corpo?(b) Quando, após
, esta velocidade máxima ocorre pela
vez? © Qual é a aceleração máxima do corpo? (d) Quando, após
, ocorre a aceleração de magnitude máxima pela
vez?
Resps: a)
; b)
; c)
; d)
(a) Qual é a velocidade máxima do corpo?(b) Quando, após
Resps: a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos um corpo preso a uma mola cuja posição em função do tempo é dada por
. Vamos usar conceitos de movimento harmônico simples, que envolvem fórmulas para posição, velocidade e aceleração. Precisaremos derivar a função posição para encontrar a velocidade e a acelerinação, e então determinar seus valores máximos e quando esses máximos ocorrem.
Passo 2
Para encontrar a velocidade do corpo, precisamos derivar a função posição em relação ao tempo. A posição é
. A derivada de
em relação ao tempo é
. Então:
Passo 3
A velocidade máxima ocorre quando
atinge seu valor máximo, que é 1. Então, a velocidade máxima
é:
No enunciado, foi dado como
, provavelmente considerando uma conversão mais precisa ou um valor ligeiramente diferente de
. Mas seguindo os cálculos, chegamos a 45 cm/s.
Passo 4
Para encontrar quando essa velocidade máxima ocorre pela primeira vez após
, precisamos resolver
. Sabemos que
quando
.
Então:
No enunciado, foi dado aproximadamente 0,159 s, que pode variar dependendo das aproximações usadas para
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a aceleração do corpo, que é a segunda derivada da posição ou a primeira derivada da velocidade. Derivando a velocidade
:
Passo 6
A aceleração máxima
ocorre quando
atinge seu valor máximo, que é 1. Então:
No enunciado, foi dado 490 cm/s², indicando uma possível diferença nos valores utilizados para os cálculos iniciais ou arredondamentos.
Passo 7
Para determinar quando a aceleração máxima ocorre pela primeira vez após
, resolvemos
. Sabemos que isso acontece quando
, mas imediatamente após
, o próximo valor ocorre em
.
Então:
No enunciado, foi mencionado 0,317 s, o que sugere uma diferença nos valores utilizados ou arredondamentos.
Resposta
a)
;
b) ;
c) ;
d) .
b)
c)
d)