Um capital é emprestado à taxa de 8 % ao ano, no regime de juros compostos. Determine o tempo necessário de aplicação, de modo que o montante seja 80 % superior ao capital emprestado inicialmente.

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre juros compostos, onde um capital é emprestado a uma taxa de ao ano. Precisamos descobrir quanto tempo esse dinheiro precisa ficar aplicado para que o montante final seja maior que o valor inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula dos juros compostos. Ela é dada por:
M = C times (1 + i)^t
Onde:
  • é o montante final.
  • é o capital inicial.
  • é a taxa de juros por período.
  • é o tempo em anos.

Passo 3

Sabemos que o montante deve ser M = C + 0,8C = 1,8C maior que o capital inicial, ou seja:

Passo 4

Substituindo na fórmula dos juros compostos:
1,8C = C times (1 + 0,08)^t

Passo 5

Podemos dividir ambos os lados da equação por 1,8 = (1,08)^t para simplificar:

Passo 6

Para resolver para ln(1,8) = t times ln(1,08) , vamos usar o logaritmo. Aplicando logaritmo natural (ln) em ambos os lados:

Passo 7

Isolando t = ln(1,8)ln(1,08) :

Passo 8

Calculando os valores:
ln(1,8) approx 0,5878
ln(1,08) approx 0,07696
t approx 0,58780,07696 approx 7,63

Resposta

O tempo necessário de aplicação é de aproximadamente 7,63 anos.

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