Um capital é emprestado à taxa de
ao ano, no regime de juros compostos. Determine o tempo necessário de aplicação, de modo que o montante seja
superior ao capital emprestado inicialmente.
Passo 1
Vamos lá! A questão fala sobre juros compostos, onde um capital é emprestado a uma taxa de
ao ano. Precisamos descobrir quanto tempo esse dinheiro precisa ficar aplicado para que o montante final seja
maior que o valor inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula dos juros compostos. Ela é dada por:
Onde:
-
é o montante final. -
é o capital inicial. -
é a taxa de juros por período. -
é o tempo em anos.
Passo 3
Sabemos que o montante deve ser
maior que o capital inicial, ou seja:
Passo 4
Substituindo na fórmula dos juros compostos:
Passo 5
Podemos dividir ambos os lados da equação por
para simplificar:
Passo 6
Para resolver para
, vamos usar o logaritmo. Aplicando logaritmo natural (ln) em ambos os lados:
Passo 7
Isolando
:
Passo 8
Calculando os valores:
Resposta
O tempo necessário de aplicação é de aproximadamente 7,63 anos.