Uma carga Z=100+ j100 Omega é ligada a uma linha de energia elétrica, com a seguinte tensão instantânea: v(t)=100 cos (100 t) V. Determine:
a) a potência instantânea desse circuito;

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma carga com impedância Z = 100 + j100 , Omega ligada a uma linha de energia elétrica cuja tensão instantânea é v(t) = 100 cos(100 t) V. O assunto aqui é circuitos de corrente alternada (AC) e vamos precisar usar a Lei de Ohm para AC e entender como calcular a potência instantânea em um circuito com impedância complexa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a corrente no circuito. Em circuitos AC, a Lei de Ohm é adaptada para trabalhar com impedâncias complexas. A fórmula usada é:
I = VZ
Aqui, V é a tensão em termos de fasores e Z é a impedância da carga.

Passo 3

Vamos calcular a magnitude da impedância Z. A impedância complexa é dada por:
Z = R + jX
Onde R é a resistência e X é a reatância. No nosso caso, R = 100 , Omega e X = 100 , Omega. A magnitude de Z é:
|Z| = raizR^2 + X^2 = raiz100^2 + 100^2 = raiz20000 = 100raiz2 , Omega

Passo 4

Agora, vamos encontrar o ângulo de fase theta da impedância, que indica o desvio de fase entre a tensão e a corrente. É calculado por:
theta = arctan(XR) = arctan(100100) = 45^circ

Passo 5

Com a magnitude da impedância e o ângulo de fase conhecidos, podemos determinar a amplitude da corrente Im. A relação é:
Im = Vm|Z|
Aqui, Vm = 100 V (amplitude da tensão). Então:
Im = 100100raiz2 = 1raiz2 , A approx 0,707 , A

Passo 6

Agora, expressamos a corrente no domínio do tempo. A corrente em circuitos AC com fase é dada por:
i(t) = Im cos(100t - theta)
Substituindo os valores:
i(t) = 1raiz2 cos(100t - 45^circ) , A

Passo 7

A potência instantânea p(t) em um circuito é dada pelo produto da tensão instantânea v(t) e da corrente instantânea i(t):
p(t) = v(t) cdot i(t)
Substituindo as expressões que temos:
p(t) = 100 cos(100t) cdot 1raiz2 cos(100t - 45^circ)

Passo 8

Para simplificar, usamos a identidade trigonométrica que relaciona o produto de cossenos:
cos A cdot cos B = 12 [ cos(A + B) + cos(A - B) ]
Aplicando isso na expressão da potência:
p(t) = 100 cdot 1raiz2 cdot 12 [ cos(200t - 45^circ) + cos(45^circ) ]

Passo 9

Simplificando os coeficientes:
p(t) = 1002raiz2 cos(200t - 45^circ) + 1002raiz2 cos(45^circ)
p(t) = 50raiz2 cos(200t - 45^circ) + 50raiz2 cdot raiz22

Passo 10

Sabemos que cos(45^circ) = raiz22, então substituímos:
p(t) = 50raiz2 cos(200t - 45^circ) + 50raiz2 cdot raiz22
Simplificando:
p(t) = 50raiz2 cos(200t - 45^circ) + 25 , W

Passo 11

Portanto, a potência instantânea no circuito é composta por um termo alternado e um termo contínuo:
p(t) = 50raiz2 cos(200t - 45^circ) + 25 , W

Resposta

A potência instantânea do circuito é p(t) = dfrac50raiz2, cos(200,t - 45^circ) + 25 watts.

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