Uma carga negativa q=-3,60 times 10^-6 C está localizada na origem e possui velocidade v=(7,50 times 10^4 m / s) imath+(-4,90 times 10^4 m / s) jmath. Nesse instante, quais são o módulo, a direção e o sentido do campo magnético produzido por essa carga no ponto x=0,200 m, y=-0,300 m, z=0?

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos uma carga negativa $ q = -3,60 \times 10^{-6} $ C localizada na origem com uma velocidade q = -3,60 times 10^-6 . Queremos descobrir o módulo, a direção e o sentido do campo magnético que essa carga produz no ponto $ (x, y, z) = (0,200 , m, -0,300 , m, 0) $. Para resolver isso, vamos usar a lei de Biot-Savart para uma carga em movimento, que nos ajuda a encontrar o campo magnético gerado por cargas que estão se movendo.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a posição da carga e do ponto onde queremos calcular o campo magnético. A carga está na origem (0, 0, 0) e o ponto está em (0,200 , m, -0,300 , m, 0). Vamos calcular o vetor posição r do ponto em relação à carga:
r = (0,200 , m) imath + (-0,300 , m) jmath + 0 k

Passo 3

Agora, vamos encontrar a magnitude de r, que é a distância entre a carga e o ponto:
|r| = raiz(0,200)^2 + (-0,300)^2 + 0^2 = raiz0,0400 + 0,0900 = raiz0,1300 approx 0,360 , m

Passo 4

A próxima etapa é calcular o produto vetorial v times r. Primeiro, escrevemos os vetores:
v = 7,50 times 10^4 imath - 4,90 times 10^4 jmath
r = 0,200 imath - 0,300 jmath
O produto vetorial é:
v times r = imath & jmath & k 7,50 times 10^4 & -4,90 times 10^4 & 0 0,200 & -0,300 & 0
Calculando o determinante:
v times r = ( (-4,90 times 10^4)(0) - (0)(-0,300) ) imath - ( (7,50 times 10^4)(0) - (0)(0,200) ) jmath + ( (7,50 times 10^4)(-0,300) - (-4,90 times 10^4)(0,200) ) k
Simplificando:
v times r = 0 imath - 0 jmath + ( -2,25 times 10^4 + 9,80 times 10^3 ) k = -1,26 times 10^4 k , m^2/s

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula do campo magnético para uma carga puntiforme em movimento:
B = mu04pi q v times r|r|^3
Onde:
  • mu0 = 4pi times 10^-7 , Tcdotm/A é a permeabilidade do vácuo,
  • q é a carga,
  • v é a velocidade da carga,
  • r é o vetor posição,
  • |r| é a magnitude de r.
Substituindo os valores que temos:
B = 4pi times 10^-74pi -3,60 times 10^-6 times (-1,26 times 10^4) k(0,360)^3
Simplificando:
B = 10^-7 times 4,536 times 10^-24,6656 times 10^-2 k approx 10^-7 times 0,972 k approx 9,72 times 10^-8 , T

Passo 6

Para encontrar a direção e o sentido do campo magnético, observamos que o vetor B está na direção da unidade k, ou seja, no sentido positivo do eixo z. Portanto, o campo magnético está apontando para cima, perpendicular ao plano xy.

Resposta

O campo magnético no ponto $ (0,200 , m, -0,300 , m, 0) $ tem um módulo de aproximadamente $ 9,72 \times 10^{-8} $ Tesla, direcionado para cima, perpendicular ao plano formado pelos eixos x e y.

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