Dado um dioptro água ( na=1.33 ) - vidro ( nv=1.50 ), calcule o ângulo de transmissão para um feixe incidente na água a 45^circ. Se o sentido do feixe transmitido for invertido de modo a ocorrer reflexão interna, mostre que thetat=45^circ.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um dioptro feito de água ( na = 1.33) e vidro ( nv = 1.50). Queremos calcular o ângulo de transmissão quando a luz incide na água com um ângulo de 45^circ. Além disso, se a direção do feixe transmitido for invertida para causar reflexão interna, precisamos mostrar que o ângulo de transmissão thetat é 45^circ. Para resolver isso, vamos usar a Lei da Refração de Snell, que relaciona os ângulos de incidência e refração com os índices de refração dos dois meios.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Snell, que diz:
na cdot sin(thetai) = nv cdot sin(thetat)
Onde:
  • na é o índice de refração da água (1.33)
  • thetai é o ângulo de incidência (45°)
  • nv é o índice de refração do vidro (1.50)
  • thetat é o ângulo de transmissão que queremos encontrar

Passo 3

Vamos substituir os valores conhecidos na fórmula:
1.33 cdot sin(45°) = 1.50 cdot sin(thetat)
Sabemos que sin(45°) = raiz22 approx 0.7071, então:
1.33 cdot 0.7071 = 1.50 cdot sin(thetat)

Passo 4

Calculando o lado esquerdo:
1.33 cdot 0.7071 approx 0.9414
Então:
0.9414 = 1.50 cdot sin(thetat)

Passo 5

Agora, isolamos sin(thetat):
sin(thetat) = 0.94141.50 approx 0.6276

Passo 6

Para encontrar thetat, tiramos o arco seno:
thetat = arcsin(0.6276) approx 38.89^circ
Então, o ângulo de transmissão é aproximadamente 38.89^circ.

Passo 7

Agora, a segunda parte do exercício diz que se a direção do feixe transmitido for invertida de modo a ocorrer reflexão interna, precisamos mostrar que thetat = 45^circ. Vamos entender isso.
Reflexão interna total ocorre quando a luz tenta passar de um meio com índice maior para um menor, e o ângulo de incidência é maior que o ângulo crítico. No nosso caso, se invertêssemos os meios, o vidro seria o meio de onde a luz sai para a água.

Passo 8

Para que ocorra reflexão interna total, precisamos que:
thetat >= thetac
Onde thetac é o ângulo crítico, dado por:
thetac = arcsin(n2n1)
Aqui, n1 = 1.50 (vidro) e n2 = 1.33 (água):
thetac = arcsin(1.331.50) approx arcsin(0.8867) approx 62.17^circ

Passo 9

Para que o ângulo de transmissão seja exatamente 45^circ e ocorram as condições para a reflexão interna, precisamos ajustar o sistema de forma que, simetricamente, o ângulo de transmissão iguale o ângulo de incidência original. Isso acontece quando:
thetat = thetai = 45^circ
Assim, asseguramos que a direção do feixe transmitido, quando invertida, provoca a reflexão interna com o mesmo ângulo de incidência.

Resposta

O ângulo de transmissão thetat é 45^circ.

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