Uma carga pontual de 5 mu C está situada em x=1 m e y=3 m e uma carga pontual de -4 mu C está situada em x=2 m e y=-2 m. (a) Determine o módulo, direção e sentido do campo elétrico em x=- 3 m e y=1 m. (b) Determine o módulo, direção e sentido da força exercida sobre um próton situado em x=-3 me y=1 m.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas cargas pontuais: uma de 5,muC na posição (1,m, 3,m) e outra de -4,muC em (2,m, -2,m). Queremos descobrir, na parte (a), o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico no ponto (-3,m, 1,m). Na parte (b), vamos ver qual é a força nesse mesmo ponto sobre um próton. Para isso, vamos usar a teoria de campo elétrico e a Lei de Coulomb.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o campo elétrico. O campo elétrico criado por uma carga Q em um ponto no espaço é dado por:
E = ke Qr^2 r
onde:
  • ke é a constante eletrostática ( 8,99 times 10^9,N,m^2/C^2),
  • Q é a carga que gera o campo,
  • r é a distância entre a carga Q e o ponto onde queremos calcular o campo,
  • r é o vetor unitário na direção de Q a esse ponto.
Vamos calcular o campo elétrico gerado por cada carga no ponto (-3,m, 1,m) e depois somá-los vetorialmente.

Passo 3

Vamos calcular a distância entre cada carga e o ponto (-3,m, 1,m).
Para a carga Q1 = 5,muC em (1,m, 3,m):
De
De
r1 = raiz(-4)^2 + (-2)^2 = raiz16 + 4 = raiz20 approx 4,472,m
Para a carga Q2 = -4,muC em (2,m, -2,m):
De
De
r2 = raiz(-5)^2 + 3^2 = raiz25 + 9 = raiz34 approx 5,831,m

Passo 4

Agora, vamos calcular o campo elétrico de cada carga no ponto. Lembrando que o campo devido à carga positiva aponta para fora da carga, e o de carga negativa aponta para dentro.
Para Q1 = 5,muC:
E1 = ke Q1r1^2 = 8,99 times 10^9 times 5 times 10^-6(4,472)^2 approx 8,99 times 10^9 times 5 times 10^-620 approx 8,99 times 10^9 times 2,5 times 10^-7 approx 2,2475 times 10^3,N/C
A direção de E1 é do ponto (-3,1) para a carga Q1, ou seja, na direção das componentes De e De.
Para Q2 = -4,muC:
E2 = ke |Q2|r2^2 = 8,99 times 10^9 times 4 times 10^-6(5,831)^2 approx 8,99 times 10^9 times 4 times 10^-634 approx 8,99 times 10^9 times 1,176 times 10^-7 approx 1,058 times 10^3,N/C
A direção de E2 é do Q2 para o ponto (-3,1) porque a carga é negativa.

Passo 5

Vamos decompor cada campo elétrico em suas componentes x e y.
Para E1:
theta1 = arctan(Deçã
E1x = E1 cos(theta1) approx 2247,5 times cos(26,565°) approx 2247,5 times 0,8944 approx 2005,N/C
E1y = E1 sin(theta1) approx 2247,5 times sin(26,565°) approx 2247,5 times 0,4472 approx 1002,N/C
Como as componentes De e De são negativas, o campo está apontando para o sudoeste, então:
E1 = (-2005, -1002),N/C
Para E2:
theta2 = arctan(Deçã
E2x = E2 cos(theta2) approx 1058 times cos(-30,964°) approx 1058 times 0,8572 approx 907,N/C
E2y = E2 sin(theta2) approx 1058 times sin(-30,964°) approx 1058 times (-0,5150) approx -545,N/C
A carga é negativa, então o campo aponta na direção oposta, ou seja, para o oeste e sul:
E2 = (-907, -545),N/C

Passo 6

Agora, vamos somar as componentes dos campos elétricos para obter o campo total no ponto (-3,m, 1,m):
Etotal,x = E1x + E2x = -2005 + (-907) = -2912,N/C
Etotal,y = E1y + E2y = -1002 + (-545) = -1547,N/C
Então, o campo elétrico total é:
Etotal = (-2912, -1547),N/C

Passo 7

Vamos determinar o módulo do campo elétrico total:
|Etotal| = raizEtotal,x^2 + Etotal,y^2 = raiz(-2912)^2 + (-1547)^2 approx raiz8,482,944 + 2,393,809 approx raiz10,876,753 approx 3,297 times 10^3,N/C

Passo 8

Para achar a direção, calculamos o ângulo phi que o campo faz com o eixo x:
phi = arctan(Etotal,yEtotal,x) = arctan(-1547-2912) = arctan(0,531) approx 28°
Como ambos os componentes são negativos, o campo está no terceiro quadrante, ou seja, 180° + 28° = 208° em relação ao eixo x.

Passo 9

Então, na parte (a), o módulo do campo elétrico no ponto (-3,m, 1,m) é aproximadamente 3,297 times 10^3,N/C, a direção é de 28° abaixo do eixo x, e o sentido está apontando para o sudoeste.

Passo 10

Para a parte (b), queremos saber a força sobre um próton nesse ponto. A força elétrica é dada por:
F = q E
onde q é a carga do próton ( 1,602 times 10^-19,C) e E é o campo elétrico que calculamos.
Vamos usar o campo total:
F = 1,602 times 10^-19,C times Etotal
|F| = 1,602 times 10^-19,C times 3,297 times 10^3,N/C approx 5,28 times 10^-16,N
A direção da força será a mesma do campo elétrico, já que o próton tem carga positiva.

Resposta

(a) O campo elétrico no ponto (-3,m, 1,m) tem módulo aproximadamente 3,30 times 10^3,N/C, direcionado a 28° abaixo do eixo x (sentido sudoeste).
(b) A força sobre o próton nesse ponto é de aproximadamente 5,28 times 10^-16,N, na mesma direção e sentido do campo elétrico.

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