A função de onda
u=0,15 sin (x-5 t)
com x em metros e t em segundos, descreve uma onda em uma corda esticada. Qual é a velocidade transversal de um ponto qualquer na corda no instante em que este ponto possui o deslocamento u=12 c m ? (Note que, em uma corda, u corresponde ao deslocamento transversal, portanto a velocidade transversal será dada por partial u / partial t )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de onda dada por , onde está em metros e em segundos. A pergunta é: qual é a velocidade transversal de um ponto na corda no instante em que esse ponto está com o deslocamento ? Para resolver isso, vamos precisar entender derivadas parciais, já que a velocidade transversal é dada por .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função representa. Aqui, é o deslocamento vertical (transversal) de um ponto na corda. A função seno descreve como essa posição varia no espaço ( ) e no tempo ( ).

Passo 3

Para encontrar a velocidade transversal, que é a taxa de variação do deslocamento em relação ao tempo, precisamos derivar partial upartial t = partialpartial t [ 0,15 sin(x - 5t) ] em relação a . Matemáticamente, isso é:

Passo 4

Aplicando a regra da derivada da função seno, sabemos que:
ddt sin(f(t)) = cos(f(t)) cdot f'(t)
No nosso caso, partial upartial t = 0,15 cos(x - 5t) cdot (-5) = -0,75 cos(x - 5t) , então . Assim, a derivada fica:

Passo 5

Agora, sabemos que a velocidade transversal é u = 12 , cm = 0,12 , m . Mas precisamos encontrar essa velocidade quando . Primeiro, vamos converter tudo para a mesma unidade. Como está na função como 0,15 (que assumimos ser em metros, ou 15 cm), e a pergunta pede 12 cm, vamos trabalhar com centímetros.
Então, temos:

Passo 6

Sabemos que:
0,15 sin(x - 5t) = 0,12
Para encontrar sin^2(theta) + cos^2(theta) = 1 , vamos usar a identidade trigonométrica:
sin(x - 5t) = 0,120,15 = 0,8
Primeiro, encontramos cos(x - 5t) = raiz1 - sin^2(x - 5t) = raiz1 - 0,64 = raiz0,36 = 0,6 :
Então,

Passo 7

Agora que temos v = -0,75 times 0,6 = -0,45 , m/s , substituímos na expressão da velocidade transversal:

Resposta

A velocidade transversal do ponto na corda quando o deslocamento é é de .

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