A função de onda
com
em metros e
em segundos, descreve uma onda em uma corda esticada. Qual é a velocidade transversal de um ponto qualquer na corda no instante em que este ponto possui o deslocamento
? (Note que, em uma corda,
corresponde ao deslocamento transversal, portanto a velocidade transversal será dada por
)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de onda dada por
, onde
está em metros e
em segundos. A pergunta é: qual é a velocidade transversal de um ponto na corda no instante em que esse ponto está com o deslocamento
? Para resolver isso, vamos precisar entender derivadas parciais, já que a velocidade transversal é dada por
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função
representa. Aqui,
é o deslocamento vertical (transversal) de um ponto na corda. A função seno descreve como essa posição varia no espaço (
) e no tempo (
).
Passo 3
Para encontrar a velocidade transversal, que é a taxa de variação do deslocamento em relação ao tempo, precisamos derivar
em relação a
. Matemáticamente, isso é:
Passo 4
Aplicando a regra da derivada da função seno, sabemos que:
No nosso caso,
, então
. Assim, a derivada fica:
Passo 5
Agora, sabemos que a velocidade transversal é
. Mas precisamos encontrar essa velocidade quando
. Primeiro, vamos converter tudo para a mesma unidade. Como
está na função como 0,15 (que assumimos ser em metros, ou 15 cm), e a pergunta pede 12 cm, vamos trabalhar com centímetros.
Então, temos:
Passo 6
Sabemos que:
Para encontrar
, vamos usar a identidade trigonométrica:
Primeiro, encontramos
:
Então,
Passo 7
Agora que temos
, substituímos na expressão da velocidade transversal:
Resposta
A velocidade transversal do ponto na corda quando o deslocamento é
é de
.