Uma onda transversal, harmônica e descritas pela função seno, propaga-se no sentido negativo do eixo x com velocidade de 50 cm / s, amplitude de 10 cm e frequência igual a 2,0 Hz. Suponha que ela se some a uma segunda onda. Escreva a expressão para a onda resultante supondo que a segunda onda tenha:
(b) mesma frequência, amplitude, comprimento de onda e velocidade, mas uma diferença de fase de pi / 2.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma onda transversal harmônica descrita pela função seno, que se propaga no sentido negativo do eixo com velocidade de , amplitude de e frequência de . A questão solicita que escrevamos a expressão para a onda resultante quando essa onda se soma a uma segunda onda que possui a mesma frequência, amplitude, comprimento de onda e velocidade, mas com uma diferença de fase de . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de ondas harmônicas e a superposição de ondas com diferentes fases.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a forma geral de uma onda harmônica que se propaga no eixo y(x, t) = A sin(kx - omega t + phi) :
y1(x, t) = A sin(-kx - omega t + phi1)
Onde:
  • é a amplitude da onda,
  • é o número de onda,
  • é a frequência angular,
  • é a fase da onda.
Como a onda se propaga no sentido negativo de , a expressão fica:

Passo 3

Sabemos que a velocidade de propagação v = omegak está relacionada com o número de onda omega = 2pi f e a frequência angular omega = 2pi f = 2pi times 2,0 , Hz = 4pi , rad/s pela relação:
E a frequência angular está relacionada com a frequência por:
Vamos calcular utilizando os dados fornecidos:

Passo 4

Agora, usando a relação entre k = omegav = 4pi50 , cm/s = 4pi50 , cm^-1 = 2pi25 , cm^-1 , e , podemos encontrar :

Passo 5

A primeira onda é então:
y1(x, t) = 10 sin(-2pi25x - 4pi t + phi1)
A segunda onda tem os mesmos parâmetros, mas com uma diferença de fase de y2(x, t) = 10 sin(-2pi25x - 4pi t + phi1 + pi2) , então:

Passo 6

Para encontrar a onda resultante ytotal(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) , somamos as duas ondas:
ytotal(x, t) = 10 sin(-2pi25x - 4pi t + phi1) + 10 sin(-2pi25x - 4pi t + phi1 + pi2)
Substituindo as expressões:

Passo 7

Podemos simplificar essa soma utilizando a identidade trigonométrica:
sin a + sin b = 2 sin(a + b2) cos(a - b2)
Aplicando essa identidade às nossas ondas:
a = -2pi25x - 4pi t + phi1
b = -2pi25x - 4pi t + phi1 + pi2
Então,
ytotal(x, t) = 2 times 10 times sin(2a + pi22) cos(-pi22)

Passo 8

Calculando as expressões dentro das funções seno e cosseno:
a + b2 = 2 (-2pi25x - 4pi t + phi1) + pi22 = -2pi25x - 4pi t + phi1 + pi4
a - b2 = -pi22 = -pi4
Portanto:
ytotal(x, t) = 20 sin(-2pi25x - 4pi t + phi1 + pi4) cos(-pi4)

Passo 9

Sabemos que ytotal(x, t) = 20 times raiz22 sin(-2pi25x - 4pi t + phi1 + pi4) e ytotal(x, t) = 10raiz2 sin(-2pi25x - 4pi t + phi1 + pi4) . Portanto:
Simplificando:

Resposta

A expressão para a onda resultante é:
ytotal(x, t) = 10raiz2 sin(-2pi25x - 4pi t + phi1 + pi4) , cm

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