Uma onda transversal, harmônica e descritas pela função seno, propaga-se no sentido negativo do eixo
com velocidade de
, amplitude de 10 cm e frequência igual a
. Suponha que ela se some a uma segunda onda. Escreva a expressão para a onda resultante supondo que a segunda onda tenha:
(b) mesma frequência, amplitude, comprimento de onda e velocidade, mas uma diferença de fase de
.
(b) mesma frequência, amplitude, comprimento de onda e velocidade, mas uma diferença de fase de
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma onda transversal harmônica descrita pela função seno, que se propaga no sentido negativo do eixo
com velocidade de
, amplitude de
e frequência de
. A questão solicita que escrevamos a expressão para a onda resultante quando essa onda se soma a uma segunda onda que possui a mesma frequência, amplitude, comprimento de onda e velocidade, mas com uma diferença de fase de
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de ondas harmônicas e a superposição de ondas com diferentes fases.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a forma geral de uma onda harmônica que se propaga no eixo
:
Onde:
-
é a amplitude da onda, -
é o número de onda, -
é a frequência angular, -
é a fase da onda.
Como a onda se propaga no sentido negativo de
, a expressão fica:
Passo 3
Sabemos que a velocidade de propagação
está relacionada com o número de onda
e a frequência angular
pela relação:
E a frequência angular
está relacionada com a frequência
por:
Vamos calcular
utilizando os dados fornecidos:
Passo 4
Agora, usando a relação entre
,
e
, podemos encontrar
:
Passo 5
A primeira onda é então:
A segunda onda tem os mesmos parâmetros, mas com uma diferença de fase de
, então:
Passo 6
Para encontrar a onda resultante
, somamos as duas ondas:
Substituindo as expressões:
Passo 7
Podemos simplificar essa soma utilizando a identidade trigonométrica:
Aplicando essa identidade às nossas ondas:
Então,
Passo 8
Calculando as expressões dentro das funções seno e cosseno:
Portanto:
Passo 9
Sabemos que
e
. Portanto:
Simplificando:
Resposta
A expressão para a onda resultante é: