Cargas elétricas estão distribuídas uniformemente sobre um volume esférico de raio
. Calcule por integração direta da lei de Coulomb, o campo elétrico gerado em todos os pontos do espaço. Utilize esse resultado e determine o potencial escalar elétrico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre cargas elétricas espalhadas de forma uniforme dentro de uma esfera de raio $ a $. Precisamos calcular, usando a lei de Coulomb e integração, o campo elétrico em todos os pontos do espaço. Depois disso, vamos usar esse resultado para encontrar o potencial elétrico escalar. Para resolver isso, vamos precisar entender a lei de Coulomb, o conceito de campo elétrico, e como integrar essas quantidades em simetria esférica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a lei de Coulomb, que nos dá o campo elétrico gerado por uma carga pontual:
Onde:
- $ \vec{E} $ é o campo elétrico,
- $ q $ é a carga,
- $ r $ é a distância da carga ao ponto onde estamos calculando o campo,
- $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção de $ r $,
- $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Como as cargas estão distribuídas uniformemente na esfera, vamos considerar que a densidade de carga volumétrica $ \rho $ é constante. Então:
Onde $ Q $ é a carga total.
Passo 4
Para calcular o campo elétrico em um ponto dentro ($ r < a
r > a $) da esfera, vamos usar a simetria esférica e a superposição dos campos de todas as cargas infinitesimais na esfera.
Passo 5
Vamos começar calculando o campo fora da esfera ($ r > a $). Aqui, pelo teorema de Gauss, o campo elétrico é equivalente ao de uma carga pontual $ Q $ no centro:
Então, o campo elétrico fora da esfera cai com o quadrado da distância.
Passo 6
Agora, para pontos dentro da esfera ($ r < a $), somente a carga dentro de um raio $ r $ contribui para o campo, devido à simetria esférica. A carga interna $ q $ é proporcional ao volume:
Então, o campo interno é:
Passo 7
Resumindo, o campo elétrico $ E® $ em função da distância $ r $ é:
Passo 8
Agora, vamos determinar o potencial elétrico $ V® $. Sabemos que o potencial é relacionado ao campo elétrico pela relação:
Vamos calcular separadamente para $ r \leq a $ e $ r > a $.
Passo 9
Para $ r > a $:
Esse é o potencial de uma carga pontual.
Passo 10
Para $ r \leq a $, precisamos integrar o campo interno:
Esse resultado leva em conta a contribuição das cargas internas.
Resposta
O campo elétrico $ E® $ e o potencial elétrico $ V® $ gerados pelas cargas distribuídas uniformemente na esfera de raio $ a $ são dados por:
e