Cargas elétricas estão distribuídas uniformemente sobre um volume esférico de raio a. Calcule por integração direta da lei de Coulomb, o campo elétrico gerado em todos os pontos do espaço. Utilize esse resultado e determine o potencial escalar elétrico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre cargas elétricas espalhadas de forma uniforme dentro de uma esfera de raio $ a $. Precisamos calcular, usando a lei de Coulomb e integração, o campo elétrico em todos os pontos do espaço. Depois disso, vamos usar esse resultado para encontrar o potencial elétrico escalar. Para resolver isso, vamos precisar entender a lei de Coulomb, o conceito de campo elétrico, e como integrar essas quantidades em simetria esférica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a lei de Coulomb, que nos dá o campo elétrico gerado por uma carga pontual:
E = 14pivarepsilon0 qr^2 r
Onde:
  • $ \vec{E} $ é o campo elétrico,
  • $ q $ é a carga,
  • $ r $ é a distância da carga ao ponto onde estamos calculando o campo,
  • $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção de $ r $,
  • $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Como as cargas estão distribuídas uniformemente na esfera, vamos considerar que a densidade de carga volumétrica $ \rho $ é constante. Então:
rho
Onde $ Q $ é a carga total.

Passo 4

Para calcular o campo elétrico em um ponto dentro ($ r < a r < a r > a $) da esfera, vamos usar a simetria esférica e a superposição dos campos de todas as cargas infinitesimais na esfera.

Passo 5

Vamos começar calculando o campo fora da esfera ($ r > a $). Aqui, pelo teorema de Gauss, o campo elétrico é equivalente ao de uma carga pontual $ Q $ no centro:
r > a
Então, o campo elétrico fora da esfera cai com o quadrado da distância.

Passo 6

Agora, para pontos dentro da esfera ($ r < a $), somente a carga dentro de um raio $ r $ contribui para o campo, devido à simetria esférica. A carga interna $ q $ é proporcional ao volume:
r < a
Então, o campo interno é:
r

Passo 7

Resumindo, o campo elétrico $ E® $ em função da distância $ r $ é:
E(r)

Passo 8

Agora, vamos determinar o potencial elétrico $ V® $. Sabemos que o potencial é relacionado ao campo elétrico pela relação:
V(r)
Vamos calcular separadamente para $ r \leq a $ e $ r > a $.

Passo 9

Para $ r > a $:
r > a
Esse é o potencial de uma carga pontual.

Passo 10

Para $ r \leq a $, precisamos integrar o campo interno:
r <= a
Esse resultado leva em conta a contribuição das cargas internas.

Resposta

O campo elétrico $ E® $ e o potencial elétrico $ V® $ gerados pelas cargas distribuídas uniformemente na esfera de raio $ a $ são dados por:
E(r)
e
V(r)

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