Carlos e Ana saíram de casa para trabalhar partindo do mesmo ponto, a garagem do prédio onde moram. Após 1 minuto, percorrendo um trajeto perpendicular, eles estavam a 13 m de distância um do outro. Se o carro de Carlos fez 7 m a mais que o de Ana durante esse tempo, a que distância eles estavam da garagem?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a pergunta tá pedindo. Temos o Carlos e a Ana que saíram juntos da garagem do prédio para trabalhar. Eles andaram em trajetos que formam um ângulo reto (perpendicular) e, após 1 minuto, estavam 13 metros afastados um do outro. Além disso, o Carlos andou 7 metros a mais que a Ana nesse tempo. Nosso objetivo é descobrir a que distância cada um estava da garagem após esse minuto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais são as informações importantes:
  • Tempo de viagem: 1 minuto.
  • Distância entre eles após 1 minuto: 13 metros.
  • Diferença na distância percorrida: 7 metros a mais pelo Carlos.

Passo 3

Vamos chamar a distância que a Ana percorreu de $ y $ metros. Então, como o Carlos andou 7 metros a mais, a distância percorrida por ele será $ y + 7 $ metros.

Passo 4

Como eles percorreram trajetos perpendiculares, formam um triângulo retângulo onde as distâncias percorridas são os catetos e a distância entre eles é a hipotenusa. Podemos usar o Teorema de Pitágoras, que diz:
Hipotenusa^2 = (Cateto 1)^2 + (Cateto 2)^2
No nosso caso:
13^2 = y^2 + (y + 7)^2

Passo 5

Vamos resolver essa equação:
169 = y^2 + (y + 7)^2
Primeiro, expandimos $ (y + 7)^2 $:
(y + 7)^2
Substituindo de volta na equação:
(y + 7)^2 = y^2 + 14y + 49
Somando os termos semelhantes:
169 = y^2 + y^2 + 14y + 49

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática:
2y^2 + 14y + 49 - 169 = 0
Simplificando:
2y^2 + 14y - 120 = 0
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:
y^2 + 7y - 60 = 0

Passo 7

Agora, vamos resolver a equação quadrática $ y^2 + 7y - 60 = 0 $. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
y^2 + 7y - 60 = 0
Onde $ a = 1 $, $ b = 7 $ e $ c = -60 $.
Calculando o discriminante:
y = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Como $ \Delta $ é positivo, temos duas soluções:
a = 1
Isso nos dá:
b = 7
Como distância não pode ser negativa, descartamos $ y = -12 $ e temos $ y = 5 $ metros.

Passo 8

Agora que sabemos que a Ana percorreu 5 metros, podemos encontrar a distância que o Carlos percorreu:
y + 7 = 5 + 7 = 12 metros

Resposta

Depois de 1 minuto, a Ana estava a 5 metros da garagem e o Carlos a 12 metros da garagem.

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