Carlos e Ana saíram de casa para trabalhar partindo do mesmo ponto, a garagem do prédio onde moram. Após 1 minuto, percorrendo um trajeto perpendicular, eles estavam a 13 m de distância um do outro. Se o carro de Carlos fez 7 m a mais que o de Ana durante esse tempo, a que distância eles estavam da garagem?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a pergunta tá pedindo. Temos o Carlos e a Ana que saíram juntos da garagem do prédio para trabalhar. Eles andaram em trajetos que formam um ângulo reto (perpendicular) e, após 1 minuto, estavam 13 metros afastados um do outro. Além disso, o Carlos andou 7 metros a mais que a Ana nesse tempo. Nosso objetivo é descobrir a que distância cada um estava da garagem após esse minuto.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quais são as informações importantes:
- Tempo de viagem: 1 minuto.
- Distância entre eles após 1 minuto: 13 metros.
- Diferença na distância percorrida: 7 metros a mais pelo Carlos.
Passo 3
Vamos chamar a distância que a Ana percorreu de $ y $ metros. Então, como o Carlos andou 7 metros a mais, a distância percorrida por ele será $ y + 7 $ metros.
Passo 4
Como eles percorreram trajetos perpendiculares, formam um triângulo retângulo onde as distâncias percorridas são os catetos e a distância entre eles é a hipotenusa. Podemos usar o Teorema de Pitágoras, que diz:
No nosso caso:
Passo 5
Vamos resolver essa equação:
Primeiro, expandimos $ (y + 7)^2 $:
Substituindo de volta na equação:
Somando os termos semelhantes:
Passo 6
Vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática:
Simplificando:
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:
Passo 7
Agora, vamos resolver a equação quadrática $ y^2 + 7y - 60 = 0 $. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 1 $, $ b = 7 $ e $ c = -60 $.
Calculando o discriminante:
Como $ \Delta $ é positivo, temos duas soluções:
Isso nos dá:
Como distância não pode ser negativa, descartamos $ y = -12 $ e temos $ y = 5 $ metros.
Passo 8
Agora que sabemos que a Ana percorreu 5 metros, podemos encontrar a distância que o Carlos percorreu:
Resposta
Depois de 1 minuto, a Ana estava a 5 metros da garagem e o Carlos a 12 metros da garagem.