Um carro percorre uma curva plana de tal modo que suas coordenadas retangulares, como funções do tempo, são dadas por x=2 t^3-3 t^2, y=t^2=2 t+1. Admitindo t como dado em segundos e x em metros, calcular (b) as componentes retangulares da velocidade num instante qualquer,

Passo 1

Vamos lá! Temos um carro que está se movendo em uma curva no plano, e as posições nas direções x e y são dadas em função do tempo. Nosso objetivo aqui é encontrar as componentes retangulares da velocidade desse carro em qualquer instante. Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas do cálculo, que nos permite encontrar a taxa de variação da posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que, para encontrar as componentes da velocidade nas direções x e y, precisamos derivar as funções que descrevem a posição do carro em cada uma dessas direções.

Passo 3

Vamos começar com a direção x. A posição do carro em x em função do tempo é dada por:
x(t) = 2t^3 - 3t^2
Para encontrar a componente da velocidade nessa direção, derivamos $ x(t) $ em relação a $ t $:
x(t)
Então, a componente de velocidade na direção x é:
t

Passo 4

Agora, vamos para a direção y. A posição do carro em y em função do tempo é dada por:
y(t) = t^2 + 2t + 1
Derivando $ y(t) $ em relação a $ t $:
y(t)
Portanto, a componente de velocidade na direção y é:
t

Resposta

As componentes retangulares da velocidade em qualquer instante $ t $ são:
t
e
vx(t) = 6t^2 - 6t

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