Um carro percorre uma curva plana de tal modo que suas coordenadas retangulares, como funções do tempo, são dadas por
. Admitindo
como dado em segundos e
em metros, calcular (b) as componentes retangulares da velocidade num instante qualquer,
Passo 1
Vamos lá! Temos um carro que está se movendo em uma curva no plano, e as posições nas direções x e y são dadas em função do tempo. Nosso objetivo aqui é encontrar as componentes retangulares da velocidade desse carro em qualquer instante. Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas do cálculo, que nos permite encontrar a taxa de variação da posição em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que, para encontrar as componentes da velocidade nas direções x e y, precisamos derivar as funções que descrevem a posição do carro em cada uma dessas direções.
Passo 3
Vamos começar com a direção x. A posição do carro em x em função do tempo é dada por:
Para encontrar a componente da velocidade nessa direção, derivamos $ x(t) $ em relação a $ t $:
Então, a componente de velocidade na direção x é:
Passo 4
Agora, vamos para a direção y. A posição do carro em y em função do tempo é dada por:
Derivando $ y(t) $ em relação a $ t $:
Portanto, a componente de velocidade na direção y é:
Resposta
As componentes retangulares da velocidade em qualquer instante $ t $ são:
e