Uma casca esférica condutora com raio interno e um raio externo possui uma carga total . Ela envolve uma carga puntiforme positiva , que está localizada no centro. Usando a Lei de Gauss e as propriedades de um condutor em equilbrio eletrostático, descreva o campo elétrico (módulo, direção e sentido) produzido por esse sistema em um ponto que se encontra a uma distancia do centro, para os seguintes casos: (i) ; (ii) e (iii) . Descreva a distribuição de cargas

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma casca esférica condutora com raio interno e raio externo , que tem uma carga total . Ela envolve uma carga pontual positiva no centro. A gente vai usar a Lei de Gauss e as propriedades de condutores em equilíbrio eletrostático para encontrar o campo elétrico em três regiões diferentes: quando a distância é menor que , entre e , e maior que . Também vamos descrever como as cargas estão distribuídas nessa casca.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga líquida dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica . Matematicamente, é:
Essa lei é super útil para encontrar campos elétricos com simetria específica, como esferas.

Passo 3

Agora, vamos considerar as propriedades de um condutor em equilíbrio eletrostático:
  1. Campo elétrico dentro de um condutor é zero: Isso porque as cargas livres no condutor se arranjam de forma a cancelar qualquer campo interno.
  2. Carga reside apenas nas superfícies: Nenhuma carga fica dentro do material do condutor.
  3. Na superfície externa, o campo elétrico é perpendicular: O campo não tem componentes tangenciais na superfície.
Com isso em mente, vamos analisar cada região.

Passo 4

Caso (i):
Aqui, estamos dentro da cavidade da casca, ou seja, a uma distância do centro menor que o raio interno .
Aplicando a Lei de Gauss a uma esfera de raio :
  • A carga interna é apenas a carga pontual no centro, que é .
  • O campo elétrico devido a essa carga é:
Direção e Sentido: O campo aponta radialmente para fora (saindo do centro), já que a carga é positiva.

Passo 5

Caso (ii):
Agora, estamos dentro do material condutor, entre os raios e .
Lembra que dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Então:
Direção e Sentido: Não há campo elétrico nessa região.

Passo 6

Caso (iii):
Aqui, estamos fora da casca, a uma distância maior que o raio externo .
Aplicando a Lei de Gauss a uma esfera de raio :
  • A carga total dentro dessa superfície gaussiana é a soma da carga central e a carga da casca , totalizando .
  • O campo elétrico devido a essa carga líquida é:
Direção e Sentido: O campo aponta radialmente para dentro (em direção ao centro), já que a carga líquida é negativa.

Passo 7

Distribuição de Cargas na Casca:
  1. Superfície Interna ( ): Para neutralizar a carga central , a casca deve ter uma carga induzida de na superfície interna.
  2. Superfície Externa ( ): A carga total da casca é . Já que está na parte interna, sobra para a parte externa.
Então, temos:
  • Carga interna da casca:
  • Carga externa da casca:

Resposta

  • Para : , apontando para fora.
  • Para : .
  • Para : , apontando para dentro.
  • Distribuição de cargas na casca: na superfície interna ( ) e na superfície externa ( ).

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