Uma casca esférica condutora com raio interno a e um raio externo b possui uma carga total Q=-2 q. Ela envolve uma carga puntiforme positiva q, que está localizada no centro. Usando a Lei de Gauss e as propriedades de um condutor em equilbrio eletrostático, descreva o campo elétrico (módulo, direção e sentido) produzido por esse sistema em um ponto que se encontra a uma distancia r do centro, para os seguintes casos: (i) r; (ii) a e (iii) r>b. Descreva a distribuição de cargas

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma casca esférica condutora com raio interno a e raio externo b, que tem uma carga total Q = -2q. Ela envolve uma carga pontual positiva q no centro. A gente vai usar a Lei de Gauss e as propriedades de condutores em equilíbrio eletrostático para encontrar o campo elétrico em três regiões diferentes: quando a distância r é menor que a, entre a e b, e maior que b. Também vamos descrever como as cargas estão distribuídas nessa casca.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga líquida dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica varepsilon0. Matematicamente, é:
PhiE = oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0
Essa lei é super útil para encontrar campos elétricos com simetria específica, como esferas.

Passo 3

Agora, vamos considerar as propriedades de um condutor em equilíbrio eletrostático:
  1. Campo elétrico dentro de um condutor é zero: Isso porque as cargas livres no condutor se arranjam de forma a cancelar qualquer campo interno.
  2. Carga reside apenas nas superfícies: Nenhuma carga fica dentro do material do condutor.
  3. Na superfície externa, o campo elétrico é perpendicular: O campo não tem componentes tangenciais na superfície.
Com isso em mente, vamos analisar cada região.

Passo 4

Caso (i): r < a
Aqui, estamos dentro da cavidade da casca, ou seja, a uma distância do centro menor que o raio interno a.
Aplicando a Lei de Gauss a uma esfera de raio r < a:
  • A carga interna Qinterno é apenas a carga pontual no centro, que é +q.
  • O campo elétrico devido a essa carga é:
E = 14pivarepsilon0 cdot qr^2
Direção e Sentido: O campo aponta radialmente para fora (saindo do centro), já que a carga q é positiva.

Passo 5

Caso (ii): a < r < b
Agora, estamos dentro do material condutor, entre os raios a e b.
Lembra que dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Então:
E = 0
Direção e Sentido: Não há campo elétrico nessa região.

Passo 6

Caso (iii): r > b
Aqui, estamos fora da casca, a uma distância maior que o raio externo b.
Aplicando a Lei de Gauss a uma esfera de raio r > b:
  • A carga total dentro dessa superfície gaussiana é a soma da carga central +q e a carga da casca -2q, totalizando -q.
  • O campo elétrico devido a essa carga líquida é:
E = 14pivarepsilon0 cdot -qr^2
Direção e Sentido: O campo aponta radialmente para dentro (em direção ao centro), já que a carga líquida é negativa.

Passo 7

Distribuição de Cargas na Casca:
  1. Superfície Interna ( r = a): Para neutralizar a carga central +q, a casca deve ter uma carga induzida de -q na superfície interna.
  2. Superfície Externa ( r = b): A carga total da casca é -2q. Já que -q está na parte interna, sobra -q para a parte externa.
Então, temos:
  • Carga interna da casca: -q
  • Carga externa da casca: -q

Resposta

  • Para r < a: E = dfrac14pivarepsilon0 cdot dfracqr^2, apontando para fora.
  • Para a < r < b: E = 0.
  • Para r > b: E = dfrac14pivarepsilon0 cdot dfrac-qr^2, apontando para dentro.
  • Distribuição de cargas na casca: -q na superfície interna ( r = a) e -q na superfície externa ( r = b).

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