Uma casca esférica condutora com raio interno
e um raio externo
possui uma carga total
. Ela envolve uma carga puntiforme positiva
, que está localizada no centro. Usando a Lei de Gauss e as propriedades de um condutor em equilbrio eletrostático, descreva o campo elétrico (módulo, direção e sentido) produzido por esse sistema em um ponto que se encontra a uma distancia
do centro, para os seguintes casos: (i)
; (ii)
e (iii)
. Descreva a distribuição de cargas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma casca esférica condutora com raio interno
e raio externo
, que tem uma carga total
. Ela envolve uma carga pontual positiva
no centro. A gente vai usar a Lei de Gauss e as propriedades de condutores em equilíbrio eletrostático para encontrar o campo elétrico em três regiões diferentes: quando a distância
é menor que
, entre
e
, e maior que
. Também vamos descrever como as cargas estão distribuídas nessa casca.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga líquida dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica
. Matematicamente, é:
Essa lei é super útil para encontrar campos elétricos com simetria específica, como esferas.
Passo 3
Agora, vamos considerar as propriedades de um condutor em equilíbrio eletrostático:
- Campo elétrico dentro de um condutor é zero: Isso porque as cargas livres no condutor se arranjam de forma a cancelar qualquer campo interno.
- Carga reside apenas nas superfícies: Nenhuma carga fica dentro do material do condutor.
- Na superfície externa, o campo elétrico é perpendicular: O campo não tem componentes tangenciais na superfície.
Com isso em mente, vamos analisar cada região.
Passo 4
Caso (i):
Aqui, estamos dentro da cavidade da casca, ou seja, a uma distância do centro menor que o raio interno
.
Aplicando a Lei de Gauss a uma esfera de raio
:
- A carga interna
é apenas a carga pontual no centro, que é . - O campo elétrico devido a essa carga é:
Direção e Sentido: O campo aponta radialmente para fora (saindo do centro), já que a carga
é positiva.
Passo 5
Caso (ii):
Agora, estamos dentro do material condutor, entre os raios
e
.
Lembra que dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Então:
Direção e Sentido: Não há campo elétrico nessa região.
Passo 6
Caso (iii):
Aqui, estamos fora da casca, a uma distância maior que o raio externo
.
Aplicando a Lei de Gauss a uma esfera de raio
:
- A carga total dentro dessa superfície gaussiana é a soma da carga central
e a carga da casca , totalizando . - O campo elétrico devido a essa carga líquida é:
Direção e Sentido: O campo aponta radialmente para dentro (em direção ao centro), já que a carga líquida é negativa.
Passo 7
Distribuição de Cargas na Casca:
- Superfície Interna (
): Para neutralizar a carga central , a casca deve ter uma carga induzida de na superfície interna. - Superfície Externa (
): A carga total da casca é . Já que está na parte interna, sobra para a parte externa.
Então, temos:
- Carga interna da casca:
- Carga externa da casca:
Resposta
- Para
: , apontando para fora. - Para
: . - Para
: , apontando para dentro. - Distribuição de cargas na casca:
na superfície interna ( ) e na superfície externa ( ).
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e (b) no interior do solenóide (
).
Uma carga puntiforme
está na origem e uma carga puntiforme
está no eixo
em
. Determine: a) O campo elétrico na carga
.