Uma casca esférica grossa não-condutora, com raios interno
e externo
, tem densidade volumétrica de carga uniforme
. Determine o campo elétrico e o potencial em qualquer ponto.
Passo 1
Então, a gente tem uma casca esférica não-condutora com densidade de carga uniforme
, e ela tem um raio interno
e um externo
. O que precisamos fazer é descobrir qual é o campo elétrico
e o potencial elétrico
em qualquer ponto ao redor dessa casca.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que é super útil para encontrar campos elétricos quando temos simetria. A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica
. Matematicamente, é:
Aqui,
é o campo elétrico e
é um elemento de área da superfície.
Passo 3
Vamos analisar o campo elétrico em diferentes regiões:
-
Dentro do raio interno (
): Não tem carga dentro dessa região porque a casca começa no raio . Então, pelo Teorema de Gauss, o campo elétrico aqui é zero. -
Entre o raio interno e externo (
): Aqui, temos carga dentro dessa região. A carga interna até o raio pode ser calculada usando a densidade de carga e o volume dentro desse raio. -
Fora do raio externo (
): Toda a carga da casca está dentro dessa região, então o campo elétrico é como se toda a carga estivesse concentrada no centro.
Passo 4
Vamos calcular o campo elétrico para cada região:
-
Para
: - Não há carga interna.
- Então,
.
-
Para
: - A carga interna
é a densidade de carga vezes o volume da esfera até o raio : - Aplicando a Lei de Gauss:
- Simplificando:
- A carga interna
-
Para
: - Toda a carga da casca é:
- Aplicando a Lei de Gauss:
- Simplificando:
- Toda a carga da casca é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o potencial elétrico
. Sabemos que o potencial é relacionado ao campo elétrico pela integral:
Vamos escolher o potencial no infinito como zero, ou seja,
.
-
Para
: - Integramos o campo elétrico:
- Integramos o campo elétrico:
-
Para
: - Precisamos integrar o campo desde
até e depois usar o resultado do potencial para : - Resolvendo a integral:
- Precisamos integrar o campo desde
-
Para
: - Aqui, o campo é zero, então o potencial é constante e igual ao potencial em
:
- Aqui, o campo é zero, então o potencial é constante e igual ao potencial em
Resposta
O campo elétrico
e o potencial elétrico
em qualquer ponto são dados por:
e