Uma casca esférica grossa não-condutora, com raios interno e externo , tem densidade volumétrica de carga uniforme . Determine o campo elétrico e o potencial em qualquer ponto.
Passo 1
Então, a gente tem uma casca esférica não-condutora com densidade de carga uniforme , e ela tem um raio interno e um externo . O que precisamos fazer é descobrir qual é o campo elétrico e o potencial elétrico em qualquer ponto ao redor dessa casca.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que é super útil para encontrar campos elétricos quando temos simetria. A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica . Matematicamente, é:
Aqui, é o campo elétrico e é um elemento de área da superfície.
Passo 3
Vamos analisar o campo elétrico em diferentes regiões:
Dentro do raio interno (): Não tem carga dentro dessa região porque a casca começa no raio . Então, pelo Teorema de Gauss, o campo elétrico aqui é zero.
Entre o raio interno e externo (): Aqui, temos carga dentro dessa região. A carga interna até o raio pode ser calculada usando a densidade de carga e o volume dentro desse raio.
Fora do raio externo (): Toda a carga da casca está dentro dessa região, então o campo elétrico é como se toda a carga estivesse concentrada no centro.
Passo 4
Vamos calcular o campo elétrico para cada região:
Para :
Não há carga interna.
Então, .
Para :
A carga interna é a densidade de carga vezes o volume da esfera até o raio :
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
Para :
Toda a carga da casca é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o potencial elétrico . Sabemos que o potencial é relacionado ao campo elétrico pela integral:
Vamos escolher o potencial no infinito como zero, ou seja, .
Para :
Integramos o campo elétrico:
Para :
Precisamos integrar o campo desde até e depois usar o resultado do potencial para :
Resolvendo a integral:
Para :
Aqui, o campo é zero, então o potencial é constante e igual ao potencial em :
Resposta
O campo elétrico e o potencial elétrico em qualquer ponto são dados por: