Uma casca esférica grossa não-condutora, com raios interno a e externo b, tem densidade volumétrica de carga uniforme rho. Determine o campo elétrico e o potencial em qualquer ponto.

Passo 1

Então, a gente tem uma casca esférica não-condutora com densidade de carga uniforme rho, e ela tem um raio interno a e um externo b. O que precisamos fazer é descobrir qual é o campo elétrico E e o potencial elétrico V em qualquer ponto ao redor dessa casca.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que é super útil para encontrar campos elétricos quando temos simetria. A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica varepsilon0. Matematicamente, é:
oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0
Aqui, E é o campo elétrico e dA é um elemento de área da superfície.

Passo 3

Vamos analisar o campo elétrico em diferentes regiões:
  1. Dentro do raio interno ( r < a): Não tem carga dentro dessa região porque a casca começa no raio a. Então, pelo Teorema de Gauss, o campo elétrico aqui é zero.
  2. Entre o raio interno e externo ( a <= r <= b): Aqui, temos carga dentro dessa região. A carga interna até o raio r pode ser calculada usando a densidade de carga rho e o volume dentro desse raio.
  3. Fora do raio externo ( r > b): Toda a carga da casca está dentro dessa região, então o campo elétrico é como se toda a carga estivesse concentrada no centro.

Passo 4

Vamos calcular o campo elétrico para cada região:
  1. Para r < a:
    • Não há carga interna.
    • Então, E = 0.
  2. Para a <= r <= b:
    • A carga interna Qinterno é a densidade de carga rho vezes o volume da esfera até o raio r: Qinterno = rho cdot 43pi r^3
    • Aplicando a Lei de Gauss: E cdot 4pi r^2 = rho cdot 43pi r^3varepsilon0
    • Simplificando: E = rho r3varepsilon0
  3. Para r > b:
    • Toda a carga da casca é: Qtotal = rho cdot 43pi (b^3 - a^3)
    • Aplicando a Lei de Gauss: E cdot 4pi r^2 = rho cdot 43pi (b^3 - a^3)varepsilon0
    • Simplificando: E = rho (b^3 - a^3)3varepsilon0 r^2

Passo 5

Agora, vamos encontrar o potencial elétrico V. Sabemos que o potencial é relacionado ao campo elétrico pela integral:
V(r) = -integral E cdot dr + V0
Vamos escolher o potencial no infinito como zero, ou seja, V(infty) = 0.
  1. Para r > b:
    • Integramos o campo elétrico: V(r) = rho (b^3 - a^3)3varepsilon0 r
  2. Para a <= r <= b:
    • Precisamos integrar o campo desde r até b e depois usar o resultado do potencial para r > b: V(r) = rho (b^3 - a^3)3varepsilon0 r - integralr^b rho r'3varepsilon0 dr'
    • Resolvendo a integral: V(r) = rho (b^3 - a^3)3varepsilon0 r - rho6varepsilon0 (b^2 - r^2)
  3. Para r < a:
    • Aqui, o campo é zero, então o potencial é constante e igual ao potencial em r = a: V(r) = rho (b^3 - a^3)3varepsilon0 a - rho6varepsilon0 (b^2 - a^2)

Resposta

O campo elétrico E(r) e o potencial elétrico V(r) em qualquer ponto são dados por:
E(r) = 0, & r < a rho r3,varepsilon0, & a <= r <= b rho (b^3 - a^3)3,varepsilon0 r^2, & r > b
e
V(r) = rho (b^3 - a^3)3,varepsilon0 a - rho (b^2 - a^2)6,varepsilon0, & r < a rho (b^3 - a^3)3,varepsilon0 r - rho (b^2 - r^2)6,varepsilon0, & a <= r <= b rho (b^3 - a^3)3,varepsilon0 r, & r > b

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