Uma casca esférica grossa não-condutora, com raios interno e externo , tem densidade volumétrica de carga uniforme . Determine o campo elétrico e o potencial em qualquer ponto.

Passo 1

Então, a gente tem uma casca esférica não-condutora com densidade de carga uniforme , e ela tem um raio interno e um externo . O que precisamos fazer é descobrir qual é o campo elétrico e o potencial elétrico em qualquer ponto ao redor dessa casca.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que é super útil para encontrar campos elétricos quando temos simetria. A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica . Matematicamente, é:
Aqui, é o campo elétrico e é um elemento de área da superfície.

Passo 3

Vamos analisar o campo elétrico em diferentes regiões:
  1. Dentro do raio interno ( ): Não tem carga dentro dessa região porque a casca começa no raio . Então, pelo Teorema de Gauss, o campo elétrico aqui é zero.
  2. Entre o raio interno e externo ( ): Aqui, temos carga dentro dessa região. A carga interna até o raio pode ser calculada usando a densidade de carga e o volume dentro desse raio.
  3. Fora do raio externo ( ): Toda a carga da casca está dentro dessa região, então o campo elétrico é como se toda a carga estivesse concentrada no centro.

Passo 4

Vamos calcular o campo elétrico para cada região:
  1. Para :
    • Não há carga interna.
    • Então, .
  2. Para :
    • A carga interna é a densidade de carga vezes o volume da esfera até o raio :
    • Aplicando a Lei de Gauss:
    • Simplificando:
  3. Para :
    • Toda a carga da casca é:
    • Aplicando a Lei de Gauss:
    • Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos encontrar o potencial elétrico . Sabemos que o potencial é relacionado ao campo elétrico pela integral:
Vamos escolher o potencial no infinito como zero, ou seja, .
  1. Para :
    • Integramos o campo elétrico:
  2. Para :
    • Precisamos integrar o campo desde até e depois usar o resultado do potencial para :
    • Resolvendo a integral:
  3. Para :
    • Aqui, o campo é zero, então o potencial é constante e igual ao potencial em :

Resposta

O campo elétrico e o potencial elétrico em qualquer ponto são dados por:
e

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a) .
b)
c)
d)
e)
A partir do diagrama de fase seguinte, indique
Indique no ponto triplo e diga quais são as fases em eq., grau de liberdade e a relação entre os potencias químicos das fases em eq.
A partir do diagrama de fase seguinte, indique
Explique como varia o potencial químico das fases sólido e líquido em equilíbrio ao aumentar a Temperatura e ao aumentar Pressão
Valor de
Unidades