Considere hipoteticamente duas bolas lançadas de um mesmo lugar ao mesmo tempo: a bola 1 , com velocidade para cima de 30 m / s, e a bola 2 , com velocidade de 50 m / s formando um ângulo de 30^circ com a horizontal. Considerando g=10 m / s^2, assinale a distância entre as bolas no instante em que a primeira alcança sua máxima altura.
a) d=raiz 6250 m.
b) d=raiz 2717 m
c) d=raiz 17100 m
d) d=raiz 19375 m
e) d=raiz 26875 m

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas bolas lançadas ao mesmo tempo: a bola 1 vai pra cima com uma velocidade de 30 m/s, e a bola 2 é lançada com 50 m/s formando um ângulo de 30 graus com a horizontal. O objetivo é descobrir qual a distância entre as duas bolas quando a primeira (bola 1) atinge a sua altura máxima. Vamos precisar usar conceitos de cinemática, especialmente sobre movimento vertical e movimento oblíquo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quando a bola 1 atinge a altura máxima. No movimento vertical, a altura máxima ocorre quando a velocidade vertical fica zero. Podemos usar a fórmula:
v = v0 - g cdot t
Onde:
  • 0 = 30 - 10 cdot t é a velocidade final (0 m/s no ponto mais alto),
  • 10 cdot t = 30 é a velocidade inicial (30 m/s),
  • t = 3 , segundos é a aceleração da gravidade (10 m/s²),
  • é o tempo.
Resolvendo para :
Então, a bola 1 leva 3 segundos para atingir a altura máxima.

Passo 3

Agora, vamos calcular a altura máxima que a bola 1 alcança. Usamos a fórmula:
h = v0 cdot t - 12 cdot g cdot t^2
Substituindo os valores:
h = 30 cdot 3 - 12 cdot 10 cdot 3^2
h = 90 - 45
h = 45 , metros
Então, a altura máxima da bola 1 é de 45 metros.

Passo 4

Vamos analisar agora a bola 2, que foi lançada em um ângulo de 30 graus com a velocidade de 50 m/s. Como é um movimento oblíquo, precisamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal ( vx = v0 cdot cos(theta) ) e vertical ( vy = v0 cdot sin(theta) ):
vx = 50 cdot 0,866 approx 43,3 , m/s
vy = 50 cdot 0,5 = 25 , m/s
Onde:
  • x = vx cdot t ,
  • x = 43,3 cdot 3 approx 129,9 , metros ,
  • y = vy cdot t - 12 cdot g cdot t^2 .
Calculando:
y = 25 cdot 3 - 12 cdot 10 cdot 9
y = 75 - 45
Agora, queremos a posição da bola 2 no instante de 3 segundos:
Posição horizontal ( y = 30 , metros ):
Posição vertical ( ):
Então, após 3 segundos, a bola 2 está a 129,9 metros na horizontal e 30 metros na vertical.

Passo 5

Agora, queremos a distância entre a bola 1 e a bola 2 nesse momento. A bola 1 está a 45 metros de altura e na mesma posição horizontal de onde foram lançadas (posição d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 ). A bola 2 está a 129,9 metros na horizontal e 30 metros na vertical.
Para calcular a distância entre os pontos d = raiz(129,9 - 0)^2 + (30 - 45)^2 e d = raiz(129,9)^2 + (-15)^2 , usamos a fórmula da distância entre dois pontos no plano:
d = raiz16807,21 + 225
d = raiz17032,21
d approx 130,56 , metros

Resposta

A distância entre as bolas no instante em que a primeira atinge sua máxima altura é aproximadamente . Portanto, a alternativa correta é:
c) .

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