Um disco de raio R tem densidade superficial uniforme sigma. Determine o potencial elétrico em qualquer ponto ao longo do eixo de simetria a uma distância z de seu centro.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que está sendo pedido. Temos um disco com raio e densidade superficial uniforme . Precisamos determinar o potencial elétrico em qualquer ponto ao longo do eixo de simetria, a uma distância do centro do disco. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente como calcular o potencial elétrico devido a uma distribuição de carga contínua.

Passo 2

Primeiro, sabemos que o potencial elétrico V = 14piepsilon0 integral dqr em um ponto devido a uma distribuição de carga é dado pela integral da contribuição de cada elemento de carga dividido pela distância desse elemento ao ponto onde queremos calcular o potencial:
No nosso caso, a distribuição de carga está espalhada uniformemente sobre o disco.

Passo 3

Vamos considerar um elemento diferencial de área no disco. A carga desse elemento é , onde é a densidade superficial de carga. Devido à simetria do problema, é conveniente usar coordenadas polares para realizar a integração.

Passo 4

No sistema de coordenadas polares, a distância r = raizz^2 + rho^2 do elemento de carga ao ponto onde estamos calculando o potencial está dado por:
V = sigma4piepsilon0 integral0^2pi integral0^R rho , drho , dphiraizz^2 + rho^2
onde é a coordenada radial no disco. Portanto, a expressão para o potencial se torna:
Por causa da simetria angular, a integração em resulta em um fator de .

Passo 5

A integral em V = sigma2epsilon0 integral0^R rho , drhoraizz^2 + rho^2 = sigma2epsilon0 ( raizz^2 + R^2 - z ) pode ser resolvida por substituição. Então, temos:

Resposta

O potencial elétrico no ponto ao longo do eixo de simetria a uma distância V(z) = sigma2epsilon0 ( raizz^2 + R^2 - z ) do centro do disco é:

Exercícios relacionados