Para o caso de subamortecimento, determine a solução particular para , e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um sistema massa-mola com amortecimento, e precisamos encontrar a solução particular para um caso de subamortecimento. Isso faz parte do estudo de mecânica vibracional. Para resolver, vamos precisar das equações que descrevem o movimento oscilatório com amortecimento e alguns conceitos de equações diferenciais. Vamos usar as informações dadas: massa , constante elástica , coeficiente de amortecimento , posição inicial e velocidade inicial .
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar a equação diferencial que descreve o movimento do sistema massa-mola-amortecido. A equação geral é:
Substituindo os valores, temos:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos encontrar as raízes da equação característica associada. A equação característica é:
Substituindo os valores:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo (), as raízes são complejas conjugadas, indicando um movimento oscilatório amortecido (subamortecimento).
Passo 5
As raízes são:
Podemos escrever a solução geral da equação diferencial como:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeira condição: .
Substituindo na solução geral:
Então, .
Passo 7
Segunda condição: .
Primeiro, derivamos :
Substituindo :
Simplificando:
Passo 8
Agora que temos e , substituímos na solução geral:
Essa é a solução particular para o sistema de subamortecimento dado.