Para o caso de subamortecimento, determine a solução particular para m = 1 kg, k = 10 N/m, c = 3 N . s / m, x0 = 5 m e nu_0 = 0 m/s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sistema massa-mola com amortecimento, e precisamos encontrar a solução particular para um caso de subamortecimento. Isso faz parte do estudo de mecânica vibracional. Para resolver, vamos precisar das equações que descrevem o movimento oscilatório com amortecimento e alguns conceitos de equações diferenciais. Vamos usar as informações dadas: massa , constante elástica , coeficiente de amortecimento , posição inicial e velocidade inicial .

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a equação diferencial que descreve o movimento do sistema massa-mola-amortecido. A equação geral é:
Substituindo os valores, temos:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos encontrar as raízes da equação característica associada. A equação característica é:
Substituindo os valores:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo ( ), as raízes são complejas conjugadas, indicando um movimento oscilatório amortecido (subamortecimento).

Passo 5

As raízes são:
Podemos escrever a solução geral da equação diferencial como:

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeira condição: .
Substituindo na solução geral:
Então, .

Passo 7

Segunda condição: .
Primeiro, derivamos :
Substituindo :
Simplificando:

Passo 8

Agora que temos e , substituímos na solução geral:
Essa é a solução particular para o sistema de subamortecimento dado.

Resposta

A solução particular para o sistema é:

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