Em um sistema mecânico, uma massa
está presa a uma mola com constante elástica
e sofre resistência ao movimento devido a um amortecedor com coeficiente de amortecimento c. A equação diferencial que descreve o movimento da massa
em função do tempo
é dada por:
Este é o modelo de um oscilador harmônico amortecido. Suponha que a massa inicial
e a velocidade inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um oscilador harmônico amortecido! A gente tem uma massa
presa a uma mola com constante elástica
e um amortecedor com coeficiente
. A equação que descreve o movimento dessa massa é:
Nosso objetivo é encontrar a posição
da massa em função do tempo, dado que inicialmente ela está na posição
e com velocidade inicial
. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais de segunda ordem e entender como elas modelam sistemas oscilatórios com amortecimento.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por
:
Essa forma facilita a identificação dos coeficientes da equação diferencial. Agora, para resolver essa equação diferencial homogênea de segunda ordem, vamos encontrar a equação característica associada.
Passo 3
A equação característica é obtida substituindo
na equação diferencial. Fazendo isso, temos:
Essa é uma equação quadrática em
, que vamos resolver para encontrar as raízes. As soluções dessa equação vão nos ajudar a determinar a forma da solução geral para
.
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando:
Agora, precisamos analisar o discriminante
para determinar o tipo de amortecimento:
- Se
: amortecimento é superamortecido. - Se
: amortecimento é criticamente amortecido. - Se
: amortecimento é subamortecido.
Isso vai influenciar na forma da solução geral.
Passo 5
Vamos considerar que
, ou seja, o sistema é subamortecido, que é o caso mais comum em exercícios desse tipo. Nesse caso, as raízes são complexas e podemos escrever a solução geral como:
Onde:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Aplicando a condição inicial
:
Então,
.
Agora, vamos derivar
para aplicar a condição da velocidade inicial
:
Aplicando
:
Resolvendo para
:
Resposta
A posição da massa em função do tempo é dada por: