Em um sistema mecânico, uma massa m está presa a uma mola com constante elástica k e sofre resistência ao movimento devido a um amortecedor com coeficiente de amortecimento c. A equação diferencial que descreve o movimento da massa chi(t) em função do tempo t é dada por:
m * d^2x(t)/dt^2 + c * dx(t)/dt + k * x(t) = 0
Este é o modelo de um oscilador harmônico amortecido. Suponha que a massa inicial x(0) = x0 e a velocidade inicial dx(0)/dt = v0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um oscilador harmônico amortecido! A gente tem uma massa presa a uma mola com constante elástica e um amortecedor com coeficiente . A equação que descreve o movimento dessa massa é:
Nosso objetivo é encontrar a posição da massa em função do tempo, dado que inicialmente ela está na posição e com velocidade inicial . Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais de segunda ordem e entender como elas modelam sistemas oscilatórios com amortecimento.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por :
Essa forma facilita a identificação dos coeficientes da equação diferencial. Agora, para resolver essa equação diferencial homogênea de segunda ordem, vamos encontrar a equação característica associada.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo na equação diferencial. Fazendo isso, temos:
Essa é uma equação quadrática em , que vamos resolver para encontrar as raízes. As soluções dessa equação vão nos ajudar a determinar a forma da solução geral para .

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando:
Agora, precisamos analisar o discriminante para determinar o tipo de amortecimento:
  • Se : amortecimento é superamortecido.
  • Se : amortecimento é criticamente amortecido.
  • Se : amortecimento é subamortecido.
Isso vai influenciar na forma da solução geral.

Passo 5

Vamos considerar que , ou seja, o sistema é subamortecido, que é o caso mais comum em exercícios desse tipo. Nesse caso, as raízes são complexas e podemos escrever a solução geral como:
Onde:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Aplicando a condição inicial :
Então, .
Agora, vamos derivar para aplicar a condição da velocidade inicial :
Aplicando :
Resolvendo para :

Resposta

A posição da massa em função do tempo é dada por:

Exercícios relacionados