Numa central telefônica, o número de chamadas chega segundo uma distribuição de Poisson, com média de oito chamadas por minuto. Determine qual a probabilidade de que num minuto se tenha:
(a) Nenhuma chamada;
(b) Exatamente duas chamadas;
© Dez ou mais chamadas.
(d) Entre sete (inclusive) e nove (exclusive) chamadas.
(a) Nenhuma chamada;
(b) Exatamente duas chamadas;
© Dez ou mais chamadas.
(d) Entre sete (inclusive) e nove (exclusive) chamadas.
Passo 1
Vamos resumir o problema: numa central telefônica, o número de chamadas que chegam por minuto segue uma distribuição de Poisson, com uma média de λ = 8 chamadas por minuto. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de ocorrerem:
a) Nenhuma chamada;
b) Exatamente duas chamadas;
c) Dez ou mais chamadas;
d) Entre sete (inclusive) e nove (exclusive) chamadas.
Para resolver isso, vamos utilizar a distribuição de Poisson, que é adequada para modelar o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo quando esses eventos acontecem de forma independente e com uma taxa média constante.
Passo 2
A distribuição de Poisson é dada pela fórmula:
Onde:
-
é a probabilidade de ocorrer exatamente eventos; -
é a taxa média de ocorrência (neste caso, 8 chamadas por minuto); -
é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828); -
é o fatorial de .
Passo 3
Vamos calcular cada uma das partes utilizando a fórmula da distribuição de Poisson.
a) Probabilidade de nenhuma chamada (k = 0):
Substituindo na fórmula:
Calculando:
b) Probabilidade de exatamente duas chamadas (k = 2):
Substituindo na fórmula:
Calculando:
c) Probabilidade de dez ou mais chamadas (k ≥ 10):
Para calcular
, é mais fácil calcular 1 menos a probabilidade de ter menos de 10 chamadas:
Isso envolve calcular a soma das probabilidades de k = 0 a k = 9 e subtrair de 1.
Após os cálculos, encontramos:
d) Probabilidade de entre sete (inclusive) e nove (exclusive) chamadas (7 ≤ k < 9):
Isso significa calcular a probabilidade de k = 7 e k = 8.
Calculando separadamente:
- Para k = 7:
- Para k = 8:
Somando as duas probabilidades:
Resposta
a) A probabilidade de nenhuma chamada é aproximadamente 0,000335 (0,0335%).
b) A probabilidade de exatamente duas chamadas é aproximadamente 0,01072 (1,072%).
c) A probabilidade de dez ou mais chamadas é aproximadamente 0,109 (10,9%).
d) A probabilidade de entre sete (inclusive) e nove (exclusive) chamadas é aproximadamente 0,218 (21,8%).
Exercícios relacionados
Em um laboratório ocorrem, em média, 2 acidentes por mês. Suponha que o número de acidentes segue uma distribuição de Poisson. Pede-se:
(a) Qual a probabilidade de ocorrerem 3 acidentes no próximo mês?
(b) Qual a probabilidade de ocorrerem pelo menos 2 acidentes no próximo mês?
© Qual a probabilidade de ocorrerem 8 acidentes nos próximos 4 meses?
(a) Qual a probabilidade de ocorrerem 3 acidentes no próximo mês?
(b) Qual a probabilidade de ocorrerem pelo menos 2 acidentes no próximo mês?
© Qual a probabilidade de ocorrerem 8 acidentes nos próximos 4 meses?
Indique se alternativa é verdadeira ou falsa. Caso seja falsa, justifiquesua resposta. Se dois intervalos de confiança que estão sendo comparados apresentam 0 mesmo coeficiente de confiança, então se deve preferir aquele que apresenta a maior amplitude.
Indique se a alternativa é verdadeira ou falsa. Caso seja falsa, justifique ## sua resposta. A probabilidade de
intervalo de confiança
conter a média da população,
, é de
.
Sendo
, ache
.