Numa central telefônica, o número de chamadas chega segundo uma distribuição de Poisson, com média de oito chamadas por minuto. Determine qual a probabilidade de que num minuto se tenha:
(a) Nenhuma chamada;
(b) Exatamente duas chamadas;
© Dez ou mais chamadas.
(d) Entre sete (inclusive) e nove (exclusive) chamadas.

Passo 1

Vamos resumir o problema: numa central telefônica, o número de chamadas que chegam por minuto segue uma distribuição de Poisson, com uma média de λ = 8 chamadas por minuto. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de ocorrerem:
a) Nenhuma chamada;
b) Exatamente duas chamadas;
c) Dez ou mais chamadas;
d) Entre sete (inclusive) e nove (exclusive) chamadas.
Para resolver isso, vamos utilizar a distribuição de Poisson, que é adequada para modelar o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo quando esses eventos acontecem de forma independente e com uma taxa média constante.

Passo 2

A distribuição de Poisson é dada pela fórmula:
P(k; lambda) = lambda^k e^-lambdak!
Onde:
  • é a probabilidade de ocorrer exatamente eventos;
  • é a taxa média de ocorrência (neste caso, 8 chamadas por minuto);
  • é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828);
  • é o fatorial de .

Passo 3

Vamos calcular cada uma das partes utilizando a fórmula da distribuição de Poisson.
a) Probabilidade de nenhuma chamada (k = 0):
Substituindo na fórmula:
P(0; 8) = 8^0 e^-80! = 1 cdot e^-81 = e^-8
Calculando:
e^-8 approx 0,000335
b) Probabilidade de exatamente duas chamadas (k = 2):
Substituindo na fórmula:
P(2; 8) = 8^2 e^-82! = 64 cdot e^-82 = 32 cdot e^-8
Calculando:
32 cdot e^-8 approx 32 cdot 0,000335 approx 0,01072
c) Probabilidade de dez ou mais chamadas (k ≥ 10):
Para calcular P(k >= 10) = 1 - sumk=0^9 P(k; 8) , é mais fácil calcular 1 menos a probabilidade de ter menos de 10 chamadas:
P(k >= 10) approx 0,109
Isso envolve calcular a soma das probabilidades de k = 0 a k = 9 e subtrair de 1.
Após os cálculos, encontramos:
P(7; 8) = 8^7 e^-87! approx 0,109
d) Probabilidade de entre sete (inclusive) e nove (exclusive) chamadas (7 ≤ k < 9):
Isso significa calcular a probabilidade de k = 7 e k = 8.
Calculando separadamente:
  • Para k = 7:
P(8; 8) = 8^8 e^-88! approx 0,109
  • Para k = 8:
P(7 <= k < 9) = P(7; 8) + P(8; 8) approx 0,109 + 0,109 = 0,218
Somando as duas probabilidades:

Resposta

a) A probabilidade de nenhuma chamada é aproximadamente 0,000335 (0,0335%).
b) A probabilidade de exatamente duas chamadas é aproximadamente 0,01072 (1,072%).
c) A probabilidade de dez ou mais chamadas é aproximadamente 0,109 (10,9%).
d) A probabilidade de entre sete (inclusive) e nove (exclusive) chamadas é aproximadamente 0,218 (21,8%).

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