Sendo X sim N(mu, sigma^2), ache P(X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma variável aleatória que segue uma distribuição normal com média e variância . A gente precisa encontrar a probabilidade de ser menor que , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de distribuição normal e a padronização da variável, que transforma em uma variável normal padrão .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma distribuição normal . Essa é uma distribuição simétrica em torno da média e tem um desvio padrão . A curva em forma de sino nos diz que a maioria dos valores estão próximos da média, e a probabilidade diminui conforme nos afastamos dela.

Passo 3

Para encontrar Z = X - musigma , a gente pode transformar em uma variável que segue a distribuição normal padrão, que tem média 0 e desvio padrão 1. A transformação é feita assim:
Isso nos ajuda porque podemos usar tabelas de valores da distribuição normal padrão ou funções de cálculo para achar a probabilidade desejada.

Passo 4

Agora, aplicando a transformação para o valor Z = (mu + 2sigma) - musigma = 2sigmasigma = 2 :
Então, queremos encontrar .

Passo 5

Consultando uma tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, sabemos que:
P(Z < 2) approx 0,9772
Isso significa que há aproximadamente 97,72% de chance de que seja menor que .

Resposta

A probabilidade é aproximadamente 97,72%.

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