Em certa comunidade
de todos os adultos com mais de 50 anos têm diabetes. Se um médico local diagnostica 95% de todas as pessoas com diabetes como portadoras da doença e
de todas as pessoas que não têm a doença como não portadoras, qual é a probabilidade de um adulto com mais de 50 anos, diagnosticado como portador da doença, ter de fato diabetes?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre adultos com mais de 50 anos em uma comunidade onde 8% têm diabetes. O assunto aqui é probabilidade condicional, e para resolver vamos precisar usar o Teorema de Bayes. Precisamos descobrir a probabilidade de uma pessoa realmente ter diabetes, dado que ela foi diagnosticada como portadora da doença pelo médico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os dados que temos:
- Probabilidade de ter diabetes (
): 8% ou 0,08. - Probabilidade de não ter diabetes (
): 92% ou 0,92. - Probabilidade de ser diagnosticado corretamente como portador (
): 95% ou 0,95. - Probabilidade de ser diagnosticado corretamente como não portador (
): 98% ou 0,98.
Aqui,
representa o diagnóstico de portador da doença.
Passo 3
Queremos encontrar a probabilidade de alguém ter diabetes dado que foi diagnosticado como portador, ou seja,
. Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que é assim:
Precisamos calcular
, que é a probabilidade total de ser diagnosticado como portador.
Passo 4
Vamos calcular
usando a regra da probabilidade total:
Sabemos que
.
Passo 5
Agora, substituindo os valores:
Então,
.
Passo 6
Agora, aplicando o Teorema de Bayes:
Resposta
A probabilidade de um adulto com mais de 50 anos, diagnosticado como portador da doença, realmente ter diabetes é aproximadamente 80,51%.