Em certa comunidade 8 % de todos os adultos com mais de 50 anos têm diabetes. Se um médico local diagnostica 95% de todas as pessoas com diabetes como portadoras da doença e 98 % de todas as pessoas que não têm a doença como não portadoras, qual é a probabilidade de um adulto com mais de 50 anos, diagnosticado como portador da doença, ter de fato diabetes?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre adultos com mais de 50 anos em uma comunidade onde 8% têm diabetes. O assunto aqui é probabilidade condicional, e para resolver vamos precisar usar o Teorema de Bayes. Precisamos descobrir a probabilidade de uma pessoa realmente ter diabetes, dado que ela foi diagnosticada como portadora da doença pelo médico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados que temos:
  • Probabilidade de ter diabetes ( P(D)): 8% ou 0,08.
  • Probabilidade de não ter diabetes ( P(neg D)): 92% ou 0,92.
  • Probabilidade de ser diagnosticado corretamente como portador ( P(T|D)): 95% ou 0,95.
  • Probabilidade de ser diagnosticado corretamente como não portador ( P(neg T|neg D)): 98% ou 0,98.
Aqui, T representa o diagnóstico de portador da doença.

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de alguém ter diabetes dado que foi diagnosticado como portador, ou seja, P(D|T). Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que é assim:
P(D|T) = P(T|D) cdot P(D)P(T)
Precisamos calcular P(T), que é a probabilidade total de ser diagnosticado como portador.

Passo 4

Vamos calcular P(T) usando a regra da probabilidade total:
P(T) = P(T|D) cdot P(D) + P(T|neg D) cdot P(neg D)
Sabemos que P(T|neg D) = 1 - P(neg T|neg D) = 1 - 0,98 = 0,02.

Passo 5

Agora, substituindo os valores:
P(T) = (0,95 cdot 0,08) + (0,02 cdot 0,92) = 0,076 + 0,0184 = 0,0944
Então, P(T) = 0,0944.

Passo 6

Agora, aplicando o Teorema de Bayes:
P(D|T) = 0,95 cdot 0,080,0944 = 0,0760,0944 approx 0,8051

Resposta

A probabilidade de um adulto com mais de 50 anos, diagnosticado como portador da doença, realmente ter diabetes é aproximadamente 80,51%.

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