Um organismo vivo simples vive um período t e logo se divide em dois. Durante o período t cada organismo está sujeito ao risco de morrer com probabilidade igual a 0,3 . Supondo que
minutos para todos os organismos semelhantes e que a sobrevivência destes é completamente independente, calcule a probabilidade de que, iniciando com um só de tais organismos, hajam oito vivos ao término de uma hora.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um organismo que vive por um período de 20 minutos (t = 20 minutos). Nesse tempo, ele pode morrer com uma probabilidade de 0,3 ou se dividir em dois com probabilidade de 0,7. Queremos saber qual é a chance de, começando com um único organismo, termos oito organismos vivos depois de uma hora (60 minutos). Vamos usar conceitos de probabilidade e processos de divisão binária para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender quantas divisões ocorrem em uma hora. Como cada período t é de 20 minutos, em uma hora temos:
Então, nosso organismo passa por 3 possíveis ciclos de divisão.
Passo 3
Agora, vamos considerar que a sobrevivência de cada organismo é independente. A cada divisão, cada organismo pode ou não se dividir, dependendo da probabilidade de sobrevivência. A probabilidade de um organismo sobreviver e se dividir é de 0,7, enquanto a probabilidade de morrer é de 0,3.
Passo 4
Queremos encontrar a probabilidade de, após 3 divisões, temos exatamente 8 organismos vivos. Isso significa que, em cada uma das 3 divisões, todos os organismos sobrevivem e se dividem. Vamos calcular essa probabilidade.
Passo 5
Em cada divisão, a probabilidade de um organismo se dividir é 0,7. Como queremos que isso aconteça em todas as 3 divisões, multiplicamos as probabilidades:
Passo 6
Calculando
:
Então, a probabilidade é de 34,3%.
Passo 7
Portanto, após três ciclos de 20 minutos cada (totalizando uma hora), começando com um único organismo, a chance de termos oito organismos vivos é de 34,3%.
Resposta
A probabilidade de ter oito organismos vivos ao término de uma hora é de 34,3%.