Uma certa onde é descrita por
y(x, t)=(6,5 mm) cos (2 pi28 cm x-2 pi0,0360 s t)
Determine para esta onda, a) amplitude. b) comprimento de onda. c) frequência. d) a posição y(x, t) a velocidade e aceleração de propagação em 3,5 mm e 6,0 s.

Passo 1

Beleza! Vamos lá entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação que descreve uma onda:
y(x, t) = (6,5 mm) cos (2 pi28 cm x - 2 pi0,0360 s t)
O conteúdo aqui é sobre ondas, especificamente ondas senoidais. Para resolver as partes a), b), c) e d), vamos precisar entender conceitos como amplitude, comprimento de onda, frequência, velocidade e aceleração de propagação. Vamos por partes!

Passo 2

a) Determinar a amplitude da onda.
A amplitude de uma onda é o valor máximo que a função de deslocamento Amplitude = 6,5 mm alcança. Na equação dada, a amplitude está diretamente multiplicando o cosseno.

Passo 3

b) Determinar o comprimento de onda.
O comprimento de onda ( y(x, t) = A cos(2pilambda x - omega t) ) é a distância entre dois pontos consecutivos da onda que estão em fase, por exemplo, de uma crista a outra.
Na equação geral de uma onda senoidal:
2pilambda = 2pi28 cm
Comparando com a equação dada:
lambda = 28 cm
Simplificando, temos:

Passo 4

c) Determinar a frequência da onda.
A frequência ( y(x, t) = A cos(2pilambda x - omega t) ) é o número de oscilações completas que a onda realiza por segundo. Na equação geral:
omega = 2pi f
Onde omega = 2pi0,0360 s implies f = omega2pi = 10,0360 s approx 27,78 Hz é a frequência angular relacionada à frequência por:
Na equação dada:

Passo 5

d) Determinar a posição 3,5 = 6,5 cos(2pi28 x - 2pi0,0360 t) , a velocidade e a aceleração quando cos(2pi28 x - 2pi0,0360 t) = 3,56,5 approx 0,5385 e 2pi28 x - 2pi0,0360 t = cos^-1(0,5385) approx 57,5^circ approx 1,003 rad .
Primeiro, vamos encontrar o tempo e a posição correspondentes.
Posição 2pi28 x - 2pi0,0360 times 6,0 = 1,003 :
A equação da onda é:
2pi28 x - 2pi times 6,00,0360 = 1,003
Dividindo ambos os lados por 6,5:
2pi28 x - 2pi times 166,67 = 1,003
Tomando o arco cosseno:
2pi28 x = 1,003 + 2pi times 166,67
Agora, substituindo x = 282pi (1,003 + 2pi times 166,67) s:
x approx 286,283 (1,003 + 1047,2) approx 286,283 times 1048,2 approx 28 times 166,6 approx 4666,8 cm approx 46,67 m
Calculando:
v(x, t) = partial ypartial t = -6,5 times 2pi0,0360 sin(2pi28 x - 2pi0,0360 t)
v(x, t) = -6,5 times 2pi0,0360 sin(1,003) approx -6,5 times 174,53 times 0,843 approx -957,1 mm/s
a(x, t) = partial^2 ypartial t^2 = -6,5 times (2pi0,0360)^2 cos(2pi28 x - 2pi0,0360 t)
a(x, t) = -6,5 times (2pi0,0360)^2 cos(1,003) approx -6,5 times (174,53)^2 times 0,539 approx -6,5 times 30400 times 0,539 approx -106141 mm/s^2
Velocidade da partícula na posição e tempo dados:
A velocidade é a derivada de em relação ao tempo.
Substituindo mm e s:
Aceleração da partícula na posição e tempo dados:
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada de .
Substituindo mm e s:

Resposta

a) Amplitude:
b) Comprimento de onda:
c) Frequência: aproximadamente
d) Na posição e tempo :
  • Posição
  • Velocidade
  • Aceleração

Exercícios relacionados