Um mol de um gás está em um recipiente inicialmente a
. Ele sofre uma expansão súbita, sem trocar calor com o ambiente, até dobrar de volume. Depois ele é comprimido lentamente, e temperatura constante, até voltar ao seu volume inicial. Observa-se que esta temperatura vale
. Calcule o coeficiente
do gás.
Passo 1
Vamos lá! O exercício fala sobre um mol de gás que inicialmente está a
. Esse gás sofre uma expansão rápida, sem trocar calor com o ambiente, dobrando de volume. Depois, ele é comprimido de forma lenta mantendo a temperatura constante até voltar ao volume inicial. A temperatura final observada é
. Nosso objetivo aqui é calcular o coeficiente
desse gás. Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especificamente os processos adiabático e isotérmico, além das fórmulas relacionadas a esses processos.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin, porque as equações de gás ideal funcionam melhor nesse sistema de unidades.
- Temperatura inicial:
- Temperatura final:
Passo 3
Agora, vamos analisar a expansão adiabática. Nessa expansão, não há troca de calor com o ambiente, então a relação entre temperatura e volume é dada por:
Sabemos que o volume dobra, ou seja,
. Substituindo na equação:
Simplificando, temos:
Passo 4
Em seguida, o gás é comprimido de forma lenta e isotérmica, ou seja, a temperatura permanece constante durante esse processo. Portanto, a temperatura após a expansão adiabática é igual à temperatura final após a compressão:
Substituindo na equação anterior:
Passo 5
Vamos resolver para
. Primeiro, isolamos
:
Agora, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados para resolver a potência:
Usando a propriedade dos logaritmos:
Isolando
:
Passo 6
Agora, vamos calcular os valores numéricos:
Substituindo:
Resposta
O coeficiente
do gás é aproximadamente
.