Um mol de um gás está em um recipiente inicialmente a 127^circ C. Ele sofre uma expansão súbita, sem trocar calor com o ambiente, até dobrar de volume. Depois ele é comprimido lentamente, e temperatura constante, até voltar ao seu volume inicial. Observa-se que esta temperatura vale -3^circ C. Calcule o coeficiente gamma do gás.

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre um mol de gás que inicialmente está a 127^circ C. Esse gás sofre uma expansão rápida, sem trocar calor com o ambiente, dobrando de volume. Depois, ele é comprimido de forma lenta mantendo a temperatura constante até voltar ao volume inicial. A temperatura final observada é -3^circ C. Nosso objetivo aqui é calcular o coeficiente gamma desse gás. Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especificamente os processos adiabático e isotérmico, além das fórmulas relacionadas a esses processos.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin, porque as equações de gás ideal funcionam melhor nesse sistema de unidades.
  • Temperatura inicial: T1 = 127^circ C = 127 + 273 = 400 , K
  • Temperatura final: T3 = -3^circ C = -3 + 273 = 270 , K

Passo 3

Agora, vamos analisar a expansão adiabática. Nessa expansão, não há troca de calor com o ambiente, então a relação entre temperatura e volume é dada por:
T1 V1^gamma-1 = T2 V2^gamma-1
Sabemos que o volume dobra, ou seja, V2 = 2V1. Substituindo na equação:
400 times V1^gamma-1 = T2 times (2V1)^gamma-1
Simplificando, temos:
400 = T2 times 2^gamma-1

Passo 4

Em seguida, o gás é comprimido de forma lenta e isotérmica, ou seja, a temperatura permanece constante durante esse processo. Portanto, a temperatura após a expansão adiabática é igual à temperatura final após a compressão:
T2 = T3 = 270 , K
Substituindo na equação anterior:
400 = 270 times 2^gamma-1

Passo 5

Vamos resolver para gamma. Primeiro, isolamos 2^gamma-1:
2^gamma-1 = 400270 approx 1,4815
Agora, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados para resolver a potência:
ln(2^gamma-1) = ln(1,4815)
Usando a propriedade dos logaritmos:
(gamma - 1) ln(2) = ln(1,4815)
Isolando gamma:
gamma - 1 = ln(1,4815)ln(2)
gamma = ln(1,4815)ln(2) + 1

Passo 6

Agora, vamos calcular os valores numéricos:
  • ln(1,4815) approx 0,3936
  • ln(2) approx 0,6931
Substituindo:
gamma = 0,39360,6931 + 1 approx 0,568 + 1 = 1,568

Resposta

O coeficiente gamma do gás é aproximadamente 1,57.

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