Um litro de gas ideal com coeficiente gamma está inicialmente à pressão atmosférica e temperatura 300 K . Ele é submetido ao seguinte ciclo:
i. Aquecimento isocórico até a pressão atingir 2 atm;
ii. Extensão isobárica até o volume chegar a 21 ;
iii. Esfriamento isocórico até a pressão voltar a 1 atm;
iv. Contração a isobárica até o volume inicial
a) Desenhe o diagrama PV do ciclo
b) Calcule o trabalho realizado
c) Qual é a temperatura máxima atingida pelo gas?
d) Calcule a troca de calor nos processos i e ii.
e) Calcule a variação de entropia nos mesmos processos.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um gás ideal com coeficiente γ, que começa com 1 litro, pressão atmosférica (1 atm) e temperatura de 300 K. Esse gás passa por quatro processos:
  1. Aquecimento isocórico (volume constante) até a pressão dobrar para 2 atm.
  2. Expansão isobárica (pressão constante) até o volume chegar a 2,1 litros.
  3. Resfriamento isocórico até a pressão voltar a 1 atm.
  4. Contração isobárica de volta ao volume inicial.
Vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, como as leis dos gases ideais, trabalho em processos isocóricos e isobáricos, troca de calor e variação de entropia. Também vamos usar fórmulas em LaTeX para as equações.

Passo 2

a) Desenhar o diagrama PV do ciclo
Para desenhar o diagrama PV, vamos representar cada etapa do ciclo:
  1. Aquecimento isocórico (processo i): Volume constante, pressão aumenta de 1 atm para 2 atm.
  2. Expansão isobárica (processo ii): Pressão constante em 2 atm, volume aumenta de 1 litro para 2,1 litros.
  3. Resfriamento isocórico (processo iii): Volume constante, pressão diminui de 2 atm para 1 atm.
  4. Contração isobárica (processo iv): Pressão constante em 1 atm, volume diminui de 2,1 litros para 1 litro.
No diagrama PV, o eixo horizontal representa o volume (V) e o eixo vertical a pressão §. As linhas verticais representam processos isocóricos e as linhas horizontais processos isobáricos.

Passo 3

b) Calcular o trabalho realizado
O trabalho realizado em cada processo depende do tipo de processo:
  1. Processos isocóricos (i e iii): Não há trabalho realizado porque o volume não muda. W = 0
  2. Processos isobáricos (ii e iv): O trabalho é Wtotal = Wi + Wii + Wiii + Wiv = 0 + 2,2 - 0 - 1,1 = 1,1,L cdot atm .
Vamos calcular para cada um:
  • Processo ii: Wtotal = 1,1 times 101,325 approx 111,46,J
  • Processo iv:
O trabalho total do ciclo é a soma dos trabalhos de todos os processos:
Para converter para joules, usamos :

Passo 4

c) Qual é a temperatura máxima atingida pelo gás?
A temperatura máxima ocorre no final do processo de aquecimento isocórico (processo i), onde a pressão atinge 2 atm.
Usando a lei dos gases ideais: PT = nRV
Como o volume é constante, podemos relacionar as temperaturas:
P1T1 = P2T2 Rightarrow T2 = T1 times P2P1 = 300,K times 21 = 600,K
Então, a temperatura máxima é 600 K.

Passo 5

d) Calcular a troca de calor nos processos i e ii
Para calcular a troca de calor, usamos a primeira lei da termodinâmica: Q = De
Onde Qi = De para processos isocóricos e PV = nRT Rightarrow n = PVRT = 1,atm times 1,L0,0821,L cdot atm/(mol cdot K) times 300,K approx 0,0407,mol para processos isobáricos (com Qi = n CV (T2 - T1) = 0,0407,mol times CV times (600,K - 300,K) = 0,0407 CV times 300 = 12,21 CV,J ou De conforme o processo).
Processo i (aquecimento isocórico):
Como o volume é constante, o trabalho Qii = De. Então, VT = nRP Rightarrow T = P Vn R
Precisamos encontrar Tf = 2,atm times 2,1,L0,0407,mol times 0,0821,L cdot atm/(mol cdot K) approx 1257,K , o número de mols. Usamos a lei dos gases ideais: Qii = 0,0407,mol times CV times 657,K + 111,46,J = 26,7 CV + 111,46,J
Supondo que γ e estão relacionados por , mas como não temos valores específicos, vamos deixar a expressão em termos de :
Processo ii (expansão isobárica):
Aqui, o trabalho
A variação de energia interna:
Para processos isobáricos:
Precisamos encontrar a mudança de temperatura nesse processo. Usando a lei dos gases ideais novamente:
Inicialmente: ,
Finalmente: ,
Então,

Passo 6

e) Calcular a variação de entropia nos mesmos processos
A variação de entropia para um processo é dada por: De
Processo i (aquecimento isocórico):
Como o processo é isocórico, De
Processo ii (expansão isobárica):
Para processos isobáricos, usamos De: De
Substituindo os valores:

Resposta

Finalizando, as respostas são:
a) O diagrama PV é um retângulo com dois lados verticais representando os processos isocóricos e dois lados horizontais representando os processos isobáricos.
b) O trabalho total realizado no ciclo é aproximadamente .
c) A temperatura máxima atingida pelo gás é .
d) As trocas de calor são:
  • Processo i:
  • Processo ii:
e) As variações de entropia são:
  • Processo i:
  • Processo ii:

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