Um litro de gas ideal com coeficiente
está inicialmente à pressão atmosférica e temperatura 300 K . Ele é submetido ao seguinte ciclo:
i. Aquecimento isocórico até a pressão atingir 2 atm;
ii. Extensão isobárica até o volume chegar a 21 ;
iii. Esfriamento isocórico até a pressão voltar a 1 atm;
iv. Contração a isobárica até o volume inicial
a) Desenhe o diagrama PV do ciclo
b) Calcule o trabalho realizado
c) Qual é a temperatura máxima atingida pelo gas?
d) Calcule a troca de calor nos processos i e ii.
e) Calcule a variação de entropia nos mesmos processos.
i. Aquecimento isocórico até a pressão atingir 2 atm;
ii. Extensão isobárica até o volume chegar a 21 ;
iii. Esfriamento isocórico até a pressão voltar a 1 atm;
iv. Contração a isobárica até o volume inicial
a) Desenhe o diagrama PV do ciclo
b) Calcule o trabalho realizado
c) Qual é a temperatura máxima atingida pelo gas?
d) Calcule a troca de calor nos processos i e ii.
e) Calcule a variação de entropia nos mesmos processos.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um gás ideal com coeficiente γ, que começa com 1 litro, pressão atmosférica (1 atm) e temperatura de 300 K. Esse gás passa por quatro processos:
- Aquecimento isocórico (volume constante) até a pressão dobrar para 2 atm.
- Expansão isobárica (pressão constante) até o volume chegar a 2,1 litros.
- Resfriamento isocórico até a pressão voltar a 1 atm.
- Contração isobárica de volta ao volume inicial.
Vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, como as leis dos gases ideais, trabalho em processos isocóricos e isobáricos, troca de calor e variação de entropia. Também vamos usar fórmulas em LaTeX para as equações.
Passo 2
a) Desenhar o diagrama PV do ciclo
Para desenhar o diagrama PV, vamos representar cada etapa do ciclo:
- Aquecimento isocórico (processo i): Volume constante, pressão aumenta de 1 atm para 2 atm.
- Expansão isobárica (processo ii): Pressão constante em 2 atm, volume aumenta de 1 litro para 2,1 litros.
- Resfriamento isocórico (processo iii): Volume constante, pressão diminui de 2 atm para 1 atm.
- Contração isobárica (processo iv): Pressão constante em 1 atm, volume diminui de 2,1 litros para 1 litro.
No diagrama PV, o eixo horizontal representa o volume (V) e o eixo vertical a pressão §. As linhas verticais representam processos isocóricos e as linhas horizontais processos isobáricos.
Passo 3
b) Calcular o trabalho realizado
O trabalho realizado em cada processo depende do tipo de processo:
-
Processos isocóricos (i e iii): Não há trabalho realizado porque o volume não muda.
-
Processos isobáricos (ii e iv): O trabalho é
.
Vamos calcular para cada um:
-
Processo ii:
-
Processo iv:
O trabalho total do ciclo é a soma dos trabalhos de todos os processos:
Para converter para joules, usamos
:
Passo 4
c) Qual é a temperatura máxima atingida pelo gás?
A temperatura máxima ocorre no final do processo de aquecimento isocórico (processo i), onde a pressão atinge 2 atm.
Usando a lei dos gases ideais:
Como o volume é constante, podemos relacionar as temperaturas:
Então, a temperatura máxima é 600 K.
Passo 5
d) Calcular a troca de calor nos processos i e ii
Para calcular a troca de calor, usamos a primeira lei da termodinâmica:
Onde
para processos isocóricos e
para processos isobáricos (com
ou
conforme o processo).
Processo i (aquecimento isocórico):
Como o volume é constante, o trabalho
. Então,
Precisamos encontrar
, o número de mols. Usamos a lei dos gases ideais:
Supondo que γ e
estão relacionados por
, mas como não temos valores específicos, vamos deixar a expressão em termos de
:
Processo ii (expansão isobárica):
Aqui, o trabalho
A variação de energia interna:
Para processos isobáricos:
Precisamos encontrar a mudança de temperatura nesse processo. Usando a lei dos gases ideais novamente:
Inicialmente:
,
Finalmente:
,
Então,
Passo 6
e) Calcular a variação de entropia nos mesmos processos
A variação de entropia para um processo é dada por:
Processo i (aquecimento isocórico):
Como o processo é isocórico,
Processo ii (expansão isobárica):
Para processos isobáricos, usamos
:
Substituindo os valores:
Resposta
Finalizando, as respostas são:
a) O diagrama PV é um retângulo com dois lados verticais representando os processos isocóricos e dois lados horizontais representando os processos isobáricos.
b) O trabalho total realizado no ciclo é aproximadamente
.
c) A temperatura máxima atingida pelo gás é
.
d) As trocas de calor são:
- Processo i:
- Processo ii:
e) As variações de entropia são:
- Processo i:
- Processo ii: